第4章 3 专项9 构造全等三角形的常用方法-【勤径学升】2023-2024学年七年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

专项9　构造全等三角形的常用方法 “倍长中线法”构造全等三角形　　 如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围. 1题图 如图，在△ABC中，点E，D在BC边上，CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，点E是BD的中点. 试说明：∠C＝∠BAE. 2题图 如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，且BE＝AC.试说明：∠BED＝∠DAC. 3题图 “截长补短法”构造全等三角形　　 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明. 4题图 如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间的数量关系，并证明你的猜想. 5题图 如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O.试说明：AE＋CD＝AC. 6题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项9　构造全等三角形的常用方法 1.解：如答图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE. 1题答图 因为AD为BC边上的中线， 所以BD＝CD. 在△ABD和△ECD中， 所以△ABD≌△ECD(SAS)， 所以AB＝EC＝5. 在△ACE中，由三边关系定理可知EC－AC<AE<EC＋AC. 因为AE＝2AD，所以5－3<2AD<5＋3， 所以1<AD<4. 把中线AD加倍延长至点E，可以构造△ABD≌△ECD，可得AB＝EC.在△ACE中，利用三边关系定理便可确定AE的取值范围，从而确定AD的取值范围. 2.解：如答图，延长AE至F，使EF＝AE，连接DF. 因为点E为BD的中点， 所以BE＝DE. 又因为∠BEA＝∠DEF，AE＝FE， 所以△ABE≌△FDE. 所以AB＝FD，∠B＝∠BDF，∠BAE＝∠F. 因为CD＝AB，所以DF＝DC. 因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠BAD＝∠BDA，∠B＝∠BDF， 所以∠ADC＝∠ADF. 又因为DF＝DC，AD＝AD， 所以△ADF≌△ADC.所以∠C＝∠F. 又因为∠BAE＝∠F，所以∠C＝∠BAE. 2题答图 3.解：如答图，过点C作CF⊥AD于点F，过点B作BG⊥AD，交AD的延长线于点G. 3题答图 所以∠G＝∠CFD＝90°. 因为AD是△ABC的中线， 所以BD＝CD. 又因为∠BDG＝∠CDF， 所以△BDG≌△CDF. 所以BG＝CF. 在Rt△BGE和Rt△CFA中，所以Rt△BGE≌Rt△CFA(HL). 所以∠BED＝∠DAC. 4.解：BC＝BE＋CD. 证明：在BC上取一点G，使CG＝CD，连接OG. 因为BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， 所以∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE. 因为∠A＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°. 所以∠OBC＋∠OCB＝60°. 所以∠BOE＝∠COD＝∠OBC＋∠OCB＝60°. 4题答图 在△CDO和△CGO中， 所以△CDO≌△CGO(SAS)， 所以∠COD＝∠COG＝60°， 所以∠BOG＝180°－∠BOE－∠COG＝60°. 所以∠EOB＝∠GOB. 在△BOE和△BOG中， 所以△BOE≌△BOG(ASA).所以BE＝BG. 所以BC＝BG＋CG＝BE＋CD. 5.解：DE＋BF＝EF. 证明：延长CB至G，作∠5＝∠1，如答图. 因为将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，∠EAF＝∠DAB， 所以AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠2＋∠3＝∠1＋∠4. 因为∠5＝∠1，所以∠2＋∠3＝∠4＋∠5. 所以∠GAF＝∠EAF. 在△AGB和△AED中， 所以△AGB≌△AED(ASA).所以AG＝AE，BG＝DE. 在△AGF和△AEF中， 所以△AGF≌△AEF(SAS).所以GF＝EF. 所以BG＋BF＝EF.所以DE＋BF＝EF. 5题答图 6.解：如答图，在AC上取点F，使AF＝AE，连接OF. 因为AD平分∠BAC，所以∠EAO＝∠FAO. 在△AEO和△AFO中， 所以△AEO≌△AFO(SAS)，所以∠AOE＝∠AOF. 因为CE平分∠ACB，所以∠ECA＝∠ECB， 所以∠OAC＋∠OCA＝(∠BAC＋∠ACB) ＝(180°－∠B)＝60°. 因为∠AOE是△AOC的外角， 所以∠AOE＝∠OAC＋∠OCA， 6题答图 所以∠AOE＝∠AOF＝60°. 因为∠AOE＝∠COD，所以∠COF＝∠COD＝60°. 在△CFO和△CDO中， 所以△CFO≌△CDO(ASA)， 所以CF＝CD. 因为AF＋CF＝AC， 所以AE＋CD＝AC. 解题的关键是采用