第4章 3 专项8 全等三角形的常见模型-【勤径学升】2023-2024学年七年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

专项8　全等三角形的常见模型 平移模型　　 　　 证明三角形全等的关键： (1)加(减)共线部分得到相等线段； (2)利用平行线性质找对应角相等. 将两个三角形如图摆放，点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF. 试说明：△ABC≌△DEF. 1题图 如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF.写出AC与DF的关系并证明. 2题图 对称模型　　 　　　 证明三角形全等的关键： (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等； (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等. 如图，已知∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∠C＝∠F. 试说明：△AEC≌△DEF. 3题图 如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE，CD交于点O.试说明：OB＝OC. 4题图 (不)共顶点旋转模型　　 　　 证明三角形全等的关键： (1)共顶点：加(减)共顶点的角的公共角部分得一组对应角相等； (2)不共顶点：①加(减)共线部分CF得BC＝EF；②利用平行线性质找对应角相等. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD.试说明：AB＝DE，AC＝DF. 5题图 如图，∠D＋∠DAB＝180°，在四边形ABCD的边AB，CD上截取线段AF，CE，使AF＝CE，连接EF，M，N是线段EF上的两点，且EM＝FN，连接AN，CM.试说明：AN∥CM. 6题图 一线三等角模型　　 通过“三等角”信息得到两组相等的角，另找一条边相等，即可证全等 (1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.试说明：DE＝BD＋CE； (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意钝角，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 7题图①　　　　　　　7题图② 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项8　全等三角形的常见模型 1.解：因为AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F， 所以∠ACB＝∠DFE＝90°， 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(SAS). 2.解：AC与DF的数量关系相等，位置关系是平行. 证明：因为BE＝CF， 所以BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(SAS). 所以AC＝DF，∠ACB＝∠DFE.所以AC∥DF， 所以AC与DF的数量关系是相等，位置关系是平行. 3.解：因为∠AEF＝∠DEC， 所以∠AEF＋∠FEC＝∠DEC＋∠FEC， 即∠AEC＝∠DEF. 在△AEC和△DEF中， 所以△AEC≌△DEF(AAS). 4.解：BE⊥AC，CD⊥AB， 所以∠ADC＝∠AEB＝∠BDO＝∠CEO＝90°. 在△ABE和△ACD中， 所以△ABE≌△ACD(AAS). 所以AD＝AE，∠B＝∠C，所以BD＝EC. 在△BDO和△CEO中， 所以△BDO≌△CEO(ASA)，所以OB＝OC. 5.解：因为FB＝CE， 所以FB＋FC＝CE＋FC， 所以BC＝FE. 因为AB∥ED，所以∠ABC＝∠DEF. 又因为AC∥FD， 所以∠ACB＝∠DFE. 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF(ASA)， 所以AB＝DE，AC＝DF. 6.解：因为∠D＋∠DAB＝180°，所以AB∥CD， 所以∠AFN＝∠CEM， 在△AFN和△CEM中， 所以△AFN≌△CEM(SAS)， 所以∠ANF＝∠CME， 所以AN∥CM. 7.解：(1)因为BD⊥直线m，CE⊥直线m， 所以∠BDA＝∠CEA＝90°. 因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°. 因为∠BAD＋∠ABD＝90°，所以∠CAE＝∠ABD. 在△ADB和△CEA中， 所以△ADB≌△CEA(AAS)， 所以BD＝AE，AD＝CE， 所以DE＝AE＋AD＝BD＋CE. (2)成立.证明如下： 因为∠BDA＝∠BAC＝α， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α， 所以∠CAE＝∠ABD. 在△ADB和△CEA中， 所以△ADB≌△CEA(AAS)， 所以AE＝BD，AD＝CE， 所以DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 学科网（北京）股份有限公司 $$