4.4.1对数函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 4.4.1 对数函数的概念 人教A版（2019) 教学目标 学习目标 数学素养 1.理解对数函数的概念. 1.数学类比、数学抽象素养. 2.会求与对数函数有关的定义域问题. 2.数学运算素养 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 3.数学建模素养. 温故知新 1.对数的定义 一般地, 如果ax=N(a>0, 且a≠1), 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作 其中a叫做对数的底数, N叫做真数. x = logaN , 注意：0和负数没有对数; 2.对数与指数之间的关系 ax =N  logaN = x 温故知新 3. 指数函数y=ax分的图象和性质 图象 定义域 值域 性质 y=ax 0<a<1 a>1 R (0,+∞) 过定点(0, 1) 在R上单调递增 在R上单调递减 x>0 , 0<y<1; x<0 , y>1 . x>0 , y>1; x<0 , 0<y<1 . 新知导入 在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律. 反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？ 根据指数与对数的关系，     如右图，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0＜y0≤1）作x轴的平行线，与y=的图象有且只有一个交点(x0 , y0). 新知探究 这说明对任意一个y∈(0，1]，通过对应关系在[0，＋∞)上都有唯一确定的数x和它对应． 所以x也是y的函数，也就是说，函数 (y∈(0,1])刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律. 同样地，根据指数与对数的关系，由y=ax (a>0, 且a≠1)可以得到 x=logay (a>0, 且a≠1),x也是y的函数. 通常我们用x表示自变量，y表示函数. 为此将x=logay (a>0, 且a≠1)中的字母x和y对调，写成y=logax (a>0, 且a≠1). 对数函数定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 新知探究 想一想 (1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)? (2)对数函数的解析式有何特征？ (1)ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0. (2)①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1. 注意:在对数函数y＝logax中， ①a>0，且a≠1； ②x∈(0,＋∞)； ③必须符合对数函数的三个特征. 新知讲授 概念辨析：下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①y＝logx2； ②y＝logax(a∈R)； ③y＝log8x； ④y＝lnx； ⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x； ⑦y＝log2(x＋1)． A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个 解析： ①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； ②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1； ⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)； ⑥中log4x系数为2； 只有③、④符合对数函数的定义．故选B. B 新知讲解 【例1】求下列函数的定义域: (1) y=log3x2; (2) y=loga(4-x) (a>0, 且a≠1); 解： (1)∵即 ∴函数的定义域是 (2)∵即 ∴的定义域是 新知讲解 求对数型函数定义域的原则： (1)分母不能为0； (2)根指数为偶数时，被开方数非负； (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1； (4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形. 初试身手 1.求下列函数的定义域: 解： (2)∵,解得. (3)∵,解得. (1) y=ln(1-x); ⑵y=; ⑶ . ∴函数y=ln(1-x)的定义域是 (1)∵1-x>0 , 即x<1, ∴函数y=的定义域是 ∴函数的定义域是 新知讲解 【例2】假设某地初始物价为1, 每年以5%的增长率递增，经过y年后的物价为x． (1)该地的物价经过几年后会翻一番？ (2)填写下表,并根据表中的数据, 说明该地物价的变化规律． 解： 物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数y 0 (1)由题意可知，经过y年后物价x为