2024届高考数学一轮复习讲义：函数y=Asin(ωx+φ)

课题：函数 知识点： 一、求三角函数解析式 1．函数的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 （A>0，ω>0） A T＝ f＝＝ φ 2．用五点法画一个周期内的简图 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － － － 2π 0 A 0 －A 0 3．由函数y＝sin x的图象变换得到（A>0，ω>0）的图象的两种方法 （3）由的图象求其函数式： 已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． （4）利用图象变换求解析式： 由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（），便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍（），便得． 二、三角函数图象的变换 1．函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减 把函数向左平移个单位，得到函数的图像; 把函数向右平移个单位，得到函数的图像; 把函数向上平移个单位，得到函数的图像; 把函数向下平移个单位，得到函数的图像． 伸缩变换: 把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像; 把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像; 把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像; 把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像． 2．由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少． 方法一：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（），便得的图象． 方法二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（），再沿轴向左（）或向右（）平移个单位，便得的图象． 注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到． 三、函数的图像与性质的综合应用 （1）的递增区间是，递减区间是． （2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系． 的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为． （3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有． （4）的最小正周期都是． 【注1】 1．根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： （1）的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝； （2）的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝； （3）的确定：结合图象，先求出周期，然后由 （）来确定； （4）求，常用的方法有： ①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时已知）或代入图像与直线的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）． ②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 （即令，）确定．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可． 2．注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期； （2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期； （3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期． 【注2】 1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． 2．图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 3．解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移（伸缩）的大小，避免出现错误． 4．特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． 【注3】 1．求形如或 （其中A≠0，）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ （）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与 （）， （）的单调区间对应的不等式方向相同（反）． 2．如何确定函数当时函数的单调性 对于函数