第2章圆（圆中常见的全等三角形模型之手拉手模型+半角模型）2023—2024学年苏科版数学九年级上册

第2章圆（圆中常见的全等三角形模型 之手拉手模型+“8”字模型） 【学习目标】 1． 掌握圆与全等三角形的综合 2． 掌握手拉手模型在圆中的运用 3． 掌握“8”字模型在圆中的运用 【典型例题】 类型一、手拉手模型 【知识梳理】 圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。 条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 【例1】如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（   ）    A． B． C． D．5 举一反三： 【变式1】如图，圆是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且． （1）求的度数； （2）若，求圆的半径． 【变式2】如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点． (1) 求证：； (2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 【变式3】如图1，在中，弦平分圆周角，我们将圆中以A为公共点的三条弦构成的图形称为圆中“爪形A”，如图2，四边形内接于圆，， (1) 证明：圆中存在“爪形D”； (2)若，求证： 【变式4】（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． （2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______． （3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值． （4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值． 【变式5】【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到； 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得； (1)根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． (2)【类比探究】如图②，，，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由．(3)【迁移应用】【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，，求的长．【应用2】如图④，，，，，，，、相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 类型二、“8”字模型 【例2】如图，是的直径，C、D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于点E，则等于（　　）    A． B． C． D． 举一反三： 【变式1】如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知线段AD、BC为⊙O的弦，且BC＝AD，求证：AB＝CD． 【变式3】如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M． （1）求证：AM•MB＝CM•MD； （2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值． 【变式4】已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点．与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【变式5】如图1，内接于中，为直径，点在弧上，连接．    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，点在线段上，连接交于点，若，，，求线段的长． 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$