第2章圆（圆中常见的全等三角形模型之蝴蝶模型+对角互补模型） 2023—2024学年苏科版数学九年级上册

第2章圆（圆中常见的全等三角形模型 之蝴蝶模型+直径所对两直角三角形模型） 【学习目标】 1． 掌握圆与全等三角形的综合 2． 掌握蝴蝶模型在圆中的运用 3． 掌握直径所对两直角三角形在圆中的运用 4． 【典型例题】 类型一、蝴蝶模型 【知识梳理】 蝴蝶模型 条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。 结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 【例1】如图，是的直径，上的点C，D在直径的两侧，连接，若，，则的长等于 ． 举一反三： 【变式1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE、CE，若CF＝2，AF＝3，给出下列结论： ①△ADF∽△AED；  ②FG＝2；  ③tan∠AED＝；④CD平分∠ADE；⑤S△DEF＝4． 其中正确的是 ．（填序号） 【变式2】如图，中，以为直径作，交于点，交的延长线于点，连接、，．求证：是的中点． 【变式3】如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：． 【变式4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E． （1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE； （2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC． 【变式5】相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 类型二、直径所对两直角三角形模型 【例2】如图，在中，，以为直径的与，分别交于点D，E，连接，，若，，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 举一反三： 【变式1】如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和的延长线交于点D，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，求的长． 【变式2】如图， 是的内接三角形，直径，平分交于点D，交于点E，连接、． (1)若，求的度数； (2)求的长． 【变式3】已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【变式4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB，AD＝1，求CD的长度． 【变式5】如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG． （1）求证：FB2＝FE•FG； （2）若AB＝6，求FB和EG的长． 用良心做教育，成就孩子未来，体现自我价值 ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$