3.7 正多边形（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.7 正多边形 1.了解正多边形及其有关概念 2.会求正多边形的内角、外角与边数 3.了解正多边形的一般画法,会用尺规作图作正六边形. 知识点一 正多边形的有关概念 1. 正多边形 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形 2.正多边形的外接圆 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆,这个正多边形也就叫做圆内接正多边形 归纳: （1）一个多边形必须同时满足“各边相等”“各内角也相等”这两个条件,二者缺一不可 （2）任何一个正多边形都有一个外接圆 （3）圆内接正n边形的n个顶点将圆周n等分 即学即练1（2023秋·浙江·九年级专题练习）下列图形中，旋转后能与原图形重合的是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正八边形 即学即练2（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    知识点二 正多边形的画法 要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆周n等分，然后顺次连结各等分点即可 即学即练1 （2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 即学即练2（2023秋·全国·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 知识点 三正多边形的对称性 1.轴对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心 2.中心对称性 如果正多边形有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心，如果正多边形有奇数条边,那么它只是轴对称图形,不是中心对称图形 即学即练1（2023·江苏无锡·统考中考真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 即学即练2（2023秋·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）以下说法正确的有 （填序号）． ①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③每个角都是108°，且各边都相等的多边形是正五边形；④正多边形都是轴对称图形，也都是中心对称图形 题型1 与正多边形相关的角度计算 例1（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 举一反三1（2023·浙江温州·统考二模）如图，正五边形ABCDE内接于．对角线AC，BD交于点F，则∠AFD的度数为（    ）    A．106° B．108° C．110° D．120° 举一反三2（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是 ． 题型2 与正多边形相关的面积计算 例2（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）若正六边形的边长等于4，则它的面积等于（    ） A． B． C． D． 举一反三1（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如图3），则图3中阴影部分面积与空白部分面积之比为（　　） A． B． C． D． 举一反三2（2020·浙江衢州·统考一模）如图，小圆的半径为1，，，，…，依次为同心圆的内接正三角形和外切正三角形，由弦和弧围成的弓形面积记为，由弦和弧围成的弓形面积记为，…，以此下去，由弦和弧围成的弓形面积记为，其中的面积为 ． 题型3 求正多边形的中心角 例3（2021秋·浙江温州·九年级校考期中）如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（　　） A．20° B．22.5° C．25° D．30° 举一反三1（2023·浙江·九年级假期作业）正八边形的中心角等于（    ）度 A．36 B．45 C．60 D．72 举一反三2（2023·浙江·九年级假期作业）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）    题型4 已知正多边形的中心角求边 例4（2023·浙江·九年级假期作业）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 举一反三1（2023·浙江·九年级假期作业）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边