4.3 对数（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

4.3 对数 4.3.1 对数的概念 4.3.2 对数的运算 第四章 指数函数与对数函数 复习引入 在4.2.1的问题1中，我们假设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么得到两者的关系为：通过指数幂运算，我们能从中求出年后B地景区的游客人次约为2001年的倍数.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决呢？ 问题1：根据，分析需要经过多少年游客人次是2001年的2倍呢？3倍，4倍，…倍？ 新知探索 问题1：根据，分析需要经过多少年游客人次是2001年的2倍呢？3倍，4倍，…倍？ 已知底数 已知幂值 求指数 上述问题实际上就是从，，，…中分别求出，即已知底数和幂的值，求指数.这就是本节要学习的对数. 新知探索 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作： ，其中叫做对数的底数，叫做真数. 注：真数 例如，由于，所以就是以1.11为底4的对数，记作；再如，由于，所以以3为底9的对数是2，记作 “”是拉丁文(对数)的缩写. 新知探索 根据对数的定义，我们可以得到指对互换的关系： 由指数与对数互换的关系式，我们可以得到关于对数的如下结论： ①负数和没有对数； ②，. 请你利用对数与指数间的关系证明这两个重要结论. 新知探索 同学们可以通过查询互联网，进一步了解无理数、常用对数和自然对数. 其实对数最初是为了解决生活中遇到的问题而出现并发展的，因此在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为无限不循环小数，即无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把为底记为.另外，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把为底记为. 例析 例1.把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1); (2); (3); (4) (5) (6). 解： (2) (3); 10. 例析 例2.求下列各式中的值： (1); (2); (3) (4) 解：(1)∵∴ . (2)∵∴. (3)∵∴ (4)∵∴∴ 新知探索 在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究？ 问题2：我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？设，请同学们根据指数幂运算性质探究的值，并用对数形式表示出和. ∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： ∴ 新知探索 问题3：同样地，同学们可以仿照上述过程，由自己推出对数运算的其他性质. 设 ∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： ∴ 新知探索 活动4：同样地，同学们可以仿照上述过程，由你还能推出对数运算的其他性质吗？ 设 ∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： 新知探索 通过刚刚的推理计算，我们得到了如下重要的对数运算性质： 如果，且，，，那么 ① ② ③ 例析 例3.求下列各式的值： (1) (2). 解： 52 19. ① ② ③ 例析 例4.用表示. 解： ① ② ③ 新知探索 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数. 活动1： (1)利用计算工具求的近似值； (2)根据对数的定义，你能利用的值求的值吗？ (3)根据对数的定义，你能用表示 吗？ 新知探索 接下来，我们来探索对数运算更多的性质. 设则于是 根据性质③， 我们有：， 即 对数换底公式： 且；；，且. 新知探索 活动2：通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论. (1)；(2)；(3). 证明(1)： 证明(2)：∵∴ 证明(3)： 新知探索 在4.2.1的问题1中，求经过多少年地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算的值.由换底公式，可得.利用计