上海市青浦区第一中学2023-2024学年高三上学期期中测试数学试题

青浦一中2023学年第一学期高三数学期中测试 (注： 本卷共21道大题，满分150分，时间120分钟，可以使用计算器) 一、填空题(本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12 题每题满分5分， 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.) 1.已知集合,若,则__________. 2.已知为虚数单位，若复数满足，则_____________. 3.若且满足,则的最小值为_________. 4.已知向量,若,则________ 5.若,则 _________. 6.已知实数,在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为__________. 7.已知数列是等差数列,,则__________. 8.甲从家到公司上班，其行车距离(里程)为15公里。他叫了一辆网约车，行驶4公里时，同事乙也搭乘去公司。到达公司后，两人决定公平地分摊乘车费。他们一致同意： ①出租车简单地按照单价乘以里程来收费；②不考虑起步价、燃油费等因素； ③不考虑同事关系及甲的预约操作成本。 根据上述约定，甲、乙两人需支付的乘车费比例为_____________. 9.已知,曲线经过点且在该点处的切线方程为,则 _______________. 10.已知函数的定义域为,值域为,则函数是偶函数的概率为______. 11.已知正四面体的棱长均为1， 是空间中一动点，则的取值范围是_____________. 12.已知关于的方程 在实数范围内有解，则 的最小值为____________. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每题满分5分，每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.) 13.已知,则“”是的( ). （A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 14.下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为( ). (A) （B） （C） （D） 15. 设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的( ). (A) （B） （C） （D） 16.-在平面直角坐标系中,点,若点满足,则的最小值为( ). (A) （B） （C） （D） 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 17.(本题满分14分，第1小题满分6分， 第2小题满分8分) 已知. （1）求函数的最小正周期; （2）在锐角中,若,求的面积. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分， 第2小题满分8分)点. 如图,在四棱锥中,平面,分别为的中点. （1）证明:; （2）若, 求点到平面的距离. 19.(本题满分14分，第1小题满分6分， 第2小题满分8分) 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数； （2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率. 20.(本题满分18分，第1小题满分4分， 第2小题满分6分， 第3小题满分8分) 　　设，已知椭圆的方程为双曲线的方程为把合称为曲线. （1）若的离心率为，求的离心率； （2）若, 为上一动点, 为定点, 求的最小值; （3）若， 为上一动点, 为上一动点,且,问:是否 为定值?如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分， 第2小题满分6分， 第3小题满分8分) 　已知函数,对于数列,若，则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”. （1）已知 为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”,求； （2）已知 为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； （3）已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否