3.2.2 双曲线的简单几何性质（第3课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.2.2 双曲线的简单几何性质 直线与双曲线 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.根据几何条件求双曲线的标准方程. 3.会判断直线与双曲线的位置关系，并解决实际问题. 01情景导入 PART ONE 复习导入 02直线与双曲线位置关系 PART ONE 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系与交点个数 x y O x y O 相离:0个交点 相交:一个交点 相交:两个交点 相切:一个交点 直线与双曲线的位置关系 ②相切一点: △=0 ③相 离: △＜0 ①直线与双曲线相交两点: △＞0 同侧：x1x2＞0 异侧: x1x2＜0 直线与双曲线相交一点: 直线与渐进线平行 特别注意:直线与双曲线的位置关系中:一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 练习1. 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且过点P(，1)． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l1：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围． 解： (1)由e＝，可得a2＝3b2，故双曲线方程可化为－＝1. 将点P(，1)代入双曲线C的方程，可解得b2＝1.所以双曲线C的方程为－＝1. (2)联立直线与双曲线方程⇒(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得解得－1＜k＜1且k≠±， 所以k的取值范围为－1＜k＜1且k≠±. 直线与双曲线的位置关系 x y O 练习2：过点P(1,1)与双曲线 只有一个交点的直线有（ ）条 4 （1，1） 变题:将点P(1,1)改为 1.A(3,4) 2.B(3,0) 3.C(4,0) 4.D(0,0). 答案又是怎样的? 答案：1.两条; 2.三条; 3.两条; 4.零条. 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 03弦长、中点弦问题 PART ONE 弦长、中点弦问题 弦长、中点弦问题 弦长、中点弦问题 弦长、中点弦问题 例3. 经过点M(2,2)作直线l交双曲线－＝1于A，B两点，且M为AB中点． (1)求直线l的方程； (2)求线段AB的长． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入双曲线方程得－＝1， 两式相减得－－(－)＝0，(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∵M为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，kl＝＝4， 经检验k＝4符合题意．∴l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6. (2)将y＝4x－6代入到－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝， ∴|AB|＝＝. 弦长、中点弦问题 B 弦长、中点弦问题 弦长、中点弦问题 练习 2：已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 解： 法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1， 由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝. ∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－. 当k＝－时，满足Δ>0，符合题意， ∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0. 法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴－y12＝1,－y22＝1 , 两式相减得＝.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. ∴kMN＝＝－. 经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0. 04求轨迹方程 PART ONE 轨迹方程 例4 解：由题意可得 轨迹方程 例5 .双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)． 轨迹方程 05课堂小结 PART ONE 课堂小结 双曲线的几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2