3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

3.2.2 双曲线的简单几何性质 第 三 章 圆锥曲线的方程 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质． 2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义． 3.根据几何条件求双曲线的标准方程. 01情景导入 PART ONE 复习导入 复习导入 02双曲线的简单的几何性质 渐近线 PART ONE 双曲线的简单几何性质 y＝±2x 求双曲线渐近线 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 方法总结 双曲线的简单几何性质 AD 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 C 03双曲线的简单的几何性质 离心率 PART ONE 双曲线的简单几何性质 例2.　(1)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ） (2)设F1，F2是双曲线C：（a>0,b>0）的两个焦点，P是C上一点，若6a，且△的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为（ ） 离心率 双曲线的简单几何性质 解：　(1)∵a＞，∴＜1，∴y＝x的倾斜角小于45°， ∴＝tan＝，∴a＝，c＝ ＝2， ∴e＝＝＝.(如图所示) (2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a， 得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°， 由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2·4a·2c·cos 30°， 整理得(e－)2＝0，所以e＝. 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 双曲线的简单几何性质 04课堂小结 PART ONE 课堂小结 双曲线的几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) 焦距 2c 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 轴长 实轴长＝_2a___，虚轴长＝___2b___ 离心率 e＝eq \f(c,a)>1 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 等轴双曲线 定义 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线 方程 形式 x2－y2＝λ(λ≠0)，λ>0时，焦点在x轴上；λ<0时，焦点在y轴上 性质 ①离心率：e＝eq \r(2) ②渐近线方程：y＝±x 例1.（1）已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为________． 解：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(\r(5),2)， 所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2). 由双曲线方程可知，焦点在y轴上， 所以其渐近线方程为y＝±2x. 例1.(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为________． 解：　∵双曲线的一条渐近线方程是y＝2x，∴b＝2a.又∵焦点到渐近线的距离为2，∴b＝2，∴a＝1，∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1. 　x2－eq \f(y2,4)＝1 (1)求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程，一般有两种方法： ①分别求出a，b，再代入y＝±eq \f(b,a)x得渐近线方程． ②令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，即y＝±eq \f(b,a)x. (2)直线y＝±eq \f(b,a)x恰好是过实轴端点A1，A2，虚轴端点B1，B2，作平行于坐标轴的直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形的两条对角线所在的直线． (3)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 练习1.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (　　) A.C的方程为=1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±x,可得