2024届高考数学一轮复习讲义：三角函数图像与性质

课题：三角函数图像与性质 知识点： 1．正弦、余弦、正切函数的图像 2．正弦、余弦、正切函数的性质 函数性质 定义域 R R 图像 值域 R 对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 无对称轴 对称中心： 周期 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 单调递增区间 单调递减区间 单调递增区间 单调递减区间 单调递增区间 最值 当时，的最大值：1；时，的最小值：-1，其中 当时，的最大值：1；当时，的最小值：-1，其中 无最大值，无最小值 【注1】 用“五点法”作图应抓住四条： ①将原函数化为或的形式； ②求出周期；③求出振幅； ④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 【注2】 1．三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解． 2．三角函数值域的不同求法 （1）利用sin x和cos x的值域直接求； （2）把所给的三角函数式变换成y＝A sin（ωx＋φ）的形式求值域； （3）把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域； （4）利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域． 【注3】 1．求形如或 （其中A≠0，）的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ （）”视为一个“整体”；②A>0（A<0）时，所列不等式的方向与 （）， （）的单调区间对应的不等式方向相同（反）． 2．如何确定函数当时函数的单调性 对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内． 3．求函数 （或，或）的单调区间的步骤： （1）将化为正． （2）将看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”． 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． 【注4】 先化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【注5】 1． 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数． 2．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下： （1）若为偶函数，则有;若为奇函数则有； （2）若为偶函数，则有;若为奇函数则有； （3）若为奇函数则有． 【注6】 1．求三角函数的周期的方法 （1）定义法：使得当取定义域内的每一个值时，都有．利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题； （2）公式法：和的最小正周期都是，的周期为．要特别注意两个公式不要弄混； （3）图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数； （4）绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定． 如的周期都是, 但的周期为， 而，的周期不变． 2．使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期公式是；注意一定要注意加绝对值． 3．对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 典型例题 例1下列函数中最小正周期为的是（       ） A． B． C． D． 例2函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 例3已知直线是函数）图象的一条对称轴，则f（x）的最小正周期为（　　） A． B． C． D．2 例4已知函数，则是（　　） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 例5函数的图象的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 例6已知函数，