3.6 圆内接四边形（讲+练，三大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.6 圆内接四边形 1. 了解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念 2. 理解圆内接四边形的性质定理,并会应用圆内接四边形的性质定理进行证明和计算 知识点一 圆内接四边形的概念 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆. 如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆 注意： 1.内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系 2.任何一个三角形都有一个外接圆，但一个四边形不一定有外接圆 3.不能成为圆内接四边形的特殊图形:平行四边形(不包括矩形、正方形)、菱形(不包括正方形),因为平行四边形和菱形的对角不一定互补 知识点二 圆内接四边形的性质定理 圆内接四边形的对角互补 如图所示，四边形ABCD内接于圆O,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180° 注意：若一个四边形的对角不互补,则这个四边形一定没有外接圆. 即学即练1（2023秋·浙江舟山·九年级校联考期中）如图，点A，B，C，D，E都是上的点，，，则 ．    即学即练2（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，四边形内接于，连接，，，若，则 ．    题型1 已知圆内接四边形求角度 例1（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知圆心角的度数为，点C在的圆周上，则圆周角的度数是 ． 举一反三1（2023秋·浙江舟山·九年级校联考期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．    (1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数； (2)在（1）的条件下，若的半径为4． ①求的长； ②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 举一反三2（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在中，．是的外接圆，为弧的中点，为延长线上一点．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型2 求四边形外接圆的直径题 例2（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 举一反三1（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 举一反三2（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 ． 题型3 圆内接四边形的性质定理证明 例3（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，四边形内接于，点C是弧的中点，延长到点E，使得，连结．    (1)求证：． (2)若，，，求的长 举一反三1（2023·浙江·模拟预测）如图，已知是圆O的内接四边形，，于M，求证：．    举一反三2（2023·浙江金华·统考二模）如图，已知，是的直径，点E是延长线的一点，射线交点于F，连接，，，，．    (1)求证：． (2)求的度数． (3)求的长． 一、单选题 1．（2022秋·浙江宁波·九年级宁波市第十五中学校考期中）如图，在平面直角坐标系 中，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过 A，B，O ，C 四点， ， ，则圆心点 D 的坐标是(　　)    A． B． C． D． 2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知在圆的内接四边形中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，是半圆O的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，在中，点A．B．C．D在上，且．则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则（       ） A．3 B． C． D． 二、填空题 1．（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）已知和有相同的外心，，则的度数是 ． 2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，圆O的内接四边形中，，则的度数是 ． 3．（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，四边形是的内接四边形，连接，若，则 度． 4．（2020秋·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，是的直径，点C，D在上并且在的同一侧，若，则的度数是 ． 三、解答题 1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知