3.3.2抛物线的简单几何性质6题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2抛物线的简单几何性质6题型分类 一、抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 二、焦半径公式 设抛物线上一点的坐标为，焦点为. 1．抛物线，. 2．抛物线，. 3．抛物线，. 4．抛物线，. 三、直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时， 若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点； 若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点； 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 四、直线与抛物线相交弦长问题 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②＝x1＋x2＋p； ③＋＝. （一） 抛物线的简单几何性质 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 题型1：研究抛物线的几何性质 1-1．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的写正确，错误的写错误 （1）抛物线没有渐近线．( ) （2）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.( ) （3）若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．( ) （4）抛物线的图象上任意一点的横坐标的取值范围是. ( ) 1-2．（2023秋·高二课前预习）判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）抛物线是无中心的圆锥曲线. ( ) （2）抛物线过焦点且垂直于对称轴的弦长是. ( ) （3）抛物线的准线方程为. ( ) 1-3．（2023秋·安徽合肥·高二校考阶段练习）对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 1-4．（2023秋·浙江·高二校联考期末）下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 题型2：求抛物线的标准方程 2-1．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是； （2）准线方程是； （3）焦点到准线的距离是． 2-2．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2-3．（2023·全国·高二专题练习）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离是6，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D．或 2-4．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，若以F为圆心，|FO|为半径的圆与直线相切，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． （二） 直线与抛物线位置关系的判断 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有1个公共点． 注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况． 题型3：直线与抛物线位置关系的判断 3-1．（2023·全国·高三专题练习）直线与抛物线的位置关系为（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3-2．（2024·全国·高三专题练习）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2