4.3对数7题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019必修第一册）

4.3对数7题型分类 一、对数的概念 (1)对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种特殊的对数 ①常用对数：通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN(其中e＝2.71828…)． 二、对数与指数的关系 (1)对数的基本性质 ①负数和0没有对数，即真数N>0； ②1的对数为0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)； ③底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)． (2)两个重要的对数恒等式 ①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)； ②logaaN＝N(a>0，且a≠1)． 在对数的概念中规定a>0且a≠1的原因 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0， ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1， ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 三、对数运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 四、换底公式 (1)对数的换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). (2)三个较为常用的推论 ①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不为1)； ②logab＝(a>0，b>0，且均不为1)； ③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不为1，m≠0)． (1)推广：loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Nk＞0，k∈N*)． (2)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题． (3)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘运算，使用时要注意公式的适用条件． (4)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立，注意下列式子不一定成立：loga(MN)＝logaM·logaN，loga(M±N)＝logaM±logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n. (5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.　 　　　　 （一） 对数的概念 对数有意义的两个条件： ①底数大于零且不等于1； ②对数的真数必须大于零． 题型1：对数的概念 1-1．（2023春·江苏南京·高一南京市人民中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 1-2．（2023秋·江苏·高一专题练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 1-3．（2023·上海·高一专题练习）在对数式中，实数的取值范围是 ． 1-4．（2023秋·高一课前预习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （二） 指数式与对数式的互化 指数式与对数式互化的方法 (1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； (2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 题型2：指数式与对数式互化 2-1．（2023秋·高一课前预习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（    ） A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3 C．=与log8=- D．log77=1与71=7 2-2．（2023秋·高一单元测试）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2-3．（2023秋·高一课时练习）求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. （三） 利用指数式与对数式的关系求值 指数式与对数式的关系求值的基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质