3.2.1双曲线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 1 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究过程与方法研究双曲线的有关问题. 情景引入 2 1.椭圆的定义: 平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 2.椭圆的标准方程: 思考：平面内与两个定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么曲线呢？ 复习回顾 3 课堂探究 4 ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数 ②如图(B)， 两条曲线合起来叫做双曲线. |MF2|-|MF1|=常数 平面内与两定点距离的差为常数的点的轨迹： <|F1F2| <|F1F2| <|F1F2| ①文字语言：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线. 两个定点叫做双曲线的焦点； 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记为2c. F2 F1 M ②符号语言： M 1. 双曲线的定义 ① 若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ ② 若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ ③ 若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 Q1 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|(即0<2a<2c)？动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M 7 1.建系设点： 2.找动点满足的条件： 3.几何条件代数化： 4.化简整理 x O y F2 F1 M (P119,类比椭圆方程的推导) 焦点在x轴上 2. 双曲线的标准方程 思考：类比椭圆，焦点在y轴上的双曲线方程是什么? 焦点在x轴上 焦点在y轴上 ① 方程用“－”号连接； O M F2 F1 x y F2 F1 M x O y 3. 双曲线标准方程的特点 谁正谁对应a 化成标准式，焦点跟着正项走 ②分母是a2和b2, 但a、b大小关系不定(a>b, a<b, a=b). ③c2=a2+b2(c最大：c>a>0,c>b>0) ④哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁. 10 表示焦点在轴双曲线呢？ 11 探究新知 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 4. 双曲线与椭圆之间的区别与联系 系数正负 分母大小 12 例1 已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量. ∴双曲线的标准方程为 典型例题 13 使A、B 两点在 x 轴上,并且点O与线段AB的中点重合. 例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：如图所示，建立直角坐标系xOy, 设爆炸点P的坐标为(x, y),则 即2a=680，a=340. ∴ 炮弹爆炸点的轨迹方程为 例2 14 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴x上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴x上，经过点 (2) ∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为 15 (2) 焦点在轴x上，经过点 (2)解2 : 设双曲线的方程为 16 (3) 焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点(2, -5). 解1: ∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为 解2: (定义法) 17 证明: 18 解: 19 椭圆 双曲线 定 义 标准 方程 (焦点位置) 区别 a,b,c的关系 a2=b2+c2(a最大) c2=a2+b2(c最大) 一般形式 ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a >|F1F2| <|F1F2| x轴: y轴: x轴: y轴: 分母大小定焦点位置 以大小定a,b(a大b小) 系数正负定焦点位置 以正负定a,b(a正b负) 20 如何判断焦点