专题06 函数的单调性、最值及奇偶性十一个重难点归类-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

专题06函数的单调性、最值及奇偶性十一个重难点归类 一、函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． 【重难点一 证明函数的单调性】 例1．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求，； (2)判断在上的单调性.并予以证明． 例2．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明：在上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 【跟踪练习】 练习1．判断函数的单调递减区间并加以证明. 练习2．已知函数. (1)求的值； (2)用定义法判断函数的单调性. 练习3．已知函数． (1)求的解析式； (2)试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明． 练习4．已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 【重难点二 求函数的单调区间】 例3．已知函数，则的单调递增区间为 . 例4．函数的单调递减区间为 ． （1）求函数单调区间的2种方法： ①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 【跟踪练习】 练习1．函数是定义域为的奇函数，当时，，则 ，函数的单调递增区间为 ． 练习2．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    练习3．已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，． (1)求和的值； (2)求函