24.1.2 垂直于弦的直径 重难点专项练习（四大题型）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

24.1.2《垂直于弦的直径》 分层练习 考查题型一 利用垂径定理求值 1．（2023秋·北京西城·九年级校考期中）如图，是的直径，是弦，于点，若，求圆的半径．    2．（2021秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，的半径为5，半径垂直于弦于C，，求的长．    3．（2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且． (1)证明：E是的中点； (2)若，求的长． 4．（2023秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考期中）如图，的半径为，是的直径，弦，垂足为，连接，过点作于，，．    (1)求证：； (2)求半径的长． 考查题型二 利用垂径定理求平行弦问题 1．（2022秋·四川南充·九年级校考期中）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 2．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   3．一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？ 4．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离． 考查题型三 垂径定理的推论 1．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，⊙O的半径为5，弦，B是的中点，连接，则的长为 ． 2．（2023·湖北黄石·校考一模）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．若，则的半径是 ． 3．（2021秋·广东江门·九年级校考阶段练习）如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．已知，，则的半径为 ．    4．如图，是⊙O的直径，弦与交于点，过点作交⊙O于点，若为的中点． （1）求证：； （2）连接，，若，求的度数． 考查题型四 垂径定理的实际应用 1．（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦所在直线的距离． 2．（2022秋·安徽芜湖·九年级统考阶段练习）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，求这个小孔的直径的长． 3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，求水面宽的长度． 4．（2022秋·北京房山·九年级统考期末）在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为，测得弧所对的弦长为12.8，弧中点到弦的距离为2．设所在圆的圆心为O，半径于D，连接．求这个盏口半径的长（精确到0.1）． 1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）． （1）当⊙C经过点A时，求CP的长； （2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长． 2．（2020春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且． （1）求证： （2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：        3．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程． 4．（2019秋·江苏镇江·九年级校联考阶段练习）【操作思考】画⊙和⊙的直径、弦，使，垂足为（如图1）．猜想所画的图中有哪些相等的线段、相等的劣弧？（除外）． （1）猜想：① ；② ；③