24.2.2 第5课时 三角形的内切圆-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

三角形的内切圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 | 24.2.2 直线和圆的位置关系 第5课时 | 第二十四章 圆 课堂导航 掌握用尺规作三角形内切圆的方法。 三角形内切圆的相关计算 知识回顾 切线长定理 切线长 辅助线 分别连接圆心和切点 连接圆心和圆外一点 定理 作用 连接两切点 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 证线段和角相等 探究新知 活动一 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积最大？ 圆与三边相切 提示：把圆看作运动，直线看做静止 如图，已知△ABC. 求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I. A B C O D 知识要点1 内切圆相关定义 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. A B C O D 内心 三个内角的平分线的交点 圆心到三边距离相等 名称 图形 确定方法 性质 外心 内心 三角形三边中垂线的交点 1.外心到三顶点的距离相等；2.外心不一定在三角形的内部 三角形三条角平分线的交点 1.内心到三边的距离相等； 2.内心在三角形内部． 三角形内心与外心区别与联系 典例讲解 例1 如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13，求 AF、BD、CE 的长. 解： 设 AF = x ，则 AE = x . ∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x， BF = BD = AB - AF = 13 - x. 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 . 解得 x = 4. 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AE、BD、CE的长。 A F O E B D C 方法一 设AF长为x 则BC=BD+DC (9-x) + (13-x)=14 解得，x=4 则AE=4,BD=5,CE=9 方法二 设AF长为x,BD长为y，EC长为z x+z =13 y+z =14 x+y = 9 解得x=4，y=5，z=9 则AE=4，BD=5，CE=9 A F O E B D C 例3 求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 知识小结 切线长定理 辅助线 分别连接圆心和切点 连接圆心和圆外一点 定理 连接两切点 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 三角形的内接圆 内接圆 内心 半径 三个内角的平分线的交点 圆心到三边距离相等 课堂练习 （3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度. 130 20 如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. A B C I （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？ 120° 设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论不正确的是 ( ) A. h = R + r B.R = 2r C. r = D.R = C 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______. 11 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数． A B C O D E F 解： 连接OE，OF，在△ABC中， ∠A=180°－ (∠B+∠C)=180°－ (60°+70°)=50° ∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AB⊥OF，AC⊥OE. 在四边形AFOE中， ∠EOF=360°－(∠A+∠AFO+∠AEO) =360°－(50°+90°+90°) =130° ∴∠EDF= ∠EOF=65° 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠C