24.2.2 第4课时 切线长定理-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

切线长定理 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 | 24.2.2 直线和圆的位置关系 第4课时 | 第二十四章 圆 课堂导航 理解切线长概念。 掌握切线长定理，并能初步运用。 知识回顾 切线的判定与性质 判定 交点法、数量法、定理法 性质 有交点：连半径，证垂直 无交点：作垂直，证相等 C A B O 判定方法 辅助线 性质定理 辅助线 圆的切线垂直于过切点的半径 有切点：连半径，得垂直 探究新知 活动一 在同一个平面内，有一点P和⊙O， 1.过点P能否作⊙O的切线？ 2.如果能，可以作几条切线？ 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 提示：把圆看作运动，直线看做静止 l 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 活动二 已知⊙O 和⊙O 外一点 P，用尺规作图做点 P 画出 ⊙O 的切线并说明理由？ O P M A B 知识要点2 切线长定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长( PA 和 PB ). 活动二 若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OP，你能发现什么结论？说说你的理由？ 证明：连接 OA、OB. ∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点. ∴ OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL). ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. 已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：PA = PB，∠APO =∠BPO. 知识要点2 切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 切线长定理的变形 如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点， 则 PA = PB， ∠OPA = ∠OPB. 典例讲解 例1 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点．直线EF切⊙O于C点，分别交PA、PB于E、F，且PA＝10．求△PEF的周长 解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B， ⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝20． 例2 如图，、、是的切线，、、是切点，分别交、于、两点.若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 例3 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，PA，PC 是 ⊙O 的切线，A，C 为切点，∠BAC = 30°. (1) 求∠P 的大小； (2) 若 AB = 2. 求 PA 的长(结果保留根号). 解：(1) PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA⊥AB. ∴∠BAP = 90°. ∵∠BAC = 30°， ∴∠CAP = 90°-∠BAC = 60°. 又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C， ∴PA = PC. ∴△PAC 为等边三角形. ∴∠P = 60°. (2) 如图，连接 BC，则∠ACB = 90°. 在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°. ∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°. ∴ △PAC 为等边三角形. ∴ PA = AC. ∴ PA = . 知识小结 切线长定理 切线长 辅助线 分别连接圆心和切点 连接圆心和圆外一点 定理 作用 连接两切点 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 证线段和角相等 课堂练习 B P O A PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100° C 如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) A. B.2 C.2 D.3 B 如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 证明：连接OD， ∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt