24.2.2 第2课时 切线的判定-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

切线的判定 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 | 24.2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 | 第二十四章 圆 课堂导航 理解和掌握切线的判定定理。 利用切线的判定定理进行计算 知识回顾 图形 直线与圆的位置 公共点个数 距离 d 与半径 r 2 个 1 个 0 个 相离 相切 相交 d＞r d = r d＜r 直线与圆的位置关系 探究新知 活动一 如图，在⊙O上任意取一点A，连接OA 1.当满足什么条件时，直线l和⊙O相切? 2.归纳总结你的发现？这个发现可能解决什么问题？ O A 提示：把圆看作运动，直线看做静止 知识要点1 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. A B C O ∵ OA 为⊙O 的半径， BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线. 针对练习 1.判断: (1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) × × × 典例讲解 例1 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 证明：连接 OC (如图). ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ AB ⊥ OC. ∴ OC 是⊙O 的半径. ∴ AB 是⊙O 的切线. E 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 知识要点1 常见证切线作辅助线的方法 有交点 连半径，证垂直； E 无交点 作垂直，证相等(证明 d = r ). 例3 如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线. 证明：连接 OD. ∵AD 平分∠CAB，OA = OD， ∴∠ODA =∠OAD =∠DAC. ∴ OD∥AC. 又∵ DE⊥AC ， ∴∠ODF =∠AED = 90°， 即直线 DE 是⊙O 的切线. 知识小结 定理法 切线的判定 判定方法 数量法 交点法 辅助线 有交点：连半径，证垂直 无交点：作垂直，证相等 A B C O 课堂练习 1 判断下列命题是否正确 ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ） ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ） ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ） × × √ √ √ 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 . 相切 已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6．求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：过点O作OC⊥AB于C, ∵OA=OB=5，AB=8, ∴AC=BC=4. 在Rt△AOC中,根据勾股定理可得：OC=3 ∵⊙O的直径为6 ∴OC是⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线. C 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线． 证明：连接AC， ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO． ∴∠COB＝2∠ACO． 又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°． ∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP． ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线． $$