24.1.2 垂直于弦的直径-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

垂直于弦的直径 24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 课堂导航 理解圆的轴对称性及垂径定理的推导 能初步应用垂径定理进行计算和证明 新知探究 O 活动一：思考圆是轴对称图形吗？你怎样得出这个结论？你还发现了什么呢？ 知识要点1 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 O 圆的对称轴是任意一条过圆心的直线 A 试证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 O A′ M · O A A′ C D 连接AA′，作CD⊥AA′，连接OA，OA′； 证明：在△OAA′ 中， ∵ OA = OA′， ∴△OAA′ 是等腰三角形. 又 AA′⊥CD， ∴ AM = MA′， 即 CD 是 AA′ 的垂直平分线. 知识要点2 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 · O A A′ C D M ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AA′，(条件) ∴AM = A′M， (结论) 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ O A B C A B D C O E A B O C D E A B O C D E A B O D E A B O C E E A B O D 知识要点3 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ AM = A′M，CD 是⊙O 的直径 ∴CD⊥AA′， · O A A′ C D M · O A B C D (1)一条直线过圆心 (2)这条直线垂直于弦 (3)这条直线平分弦 (不是直径) (4)这条直线平分 (不是直径)弦所对的优弧 (5)这条直线平分 (不是直径)弦所对的劣弧 活动三：垂径定理及推论的规律 任意两条件 其余三结论 知二得三 · O A A′ C D M 典例讲解 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，求 AB的长 · O A B E 解析：连接 OA. ∴ AB = 2AE = 16 (cm). ∵ OE⊥AB， 例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中， AO = R，OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得AO2=OD2+DB2 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 知识要点4 垂径定理的应用 垂径定理转化直角三角形中应用勾股定理来解决 · · O A B E C 半径、弦长、弦心距、弓形高 (知二求二) 例3 求下列圆弧的圆心 A B 课堂小结 轴对称图形 垂径定理 定理 推论 方法 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对两条的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造直角三角形，利用勾股定理，建立方程. 思路 (1)直线过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦； (4)平分优弧；(5)平分劣弧 (弦不是直径) · O A B E C 对称 知二得三 方程思想 构造 对折 课堂练习 1.如图，在ʘO中，AB=8，OA=5，则OE= ，ED= ． 2.如图，在ʘO中，OA=5，ED=2，则OE= ，AB= . 3.如图，在ʘO中，AB=8，ED=2，则OA= ，OE= . 3 2 3 8 3 5 5.已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm. 14 或 2 4. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 或 12 5.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是 . · O A B M C D x y 6.如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面AB宽度 【详解】连接OA，