第二十四章 圆 复习小结第2课时(考点强化)-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

考点强化 第二十四章 圆 | 小结与复习 第2课时 | 第二十四章 圆 考点一 圆的有关的概念 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（  ） A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm A 提示：把圆看作运动，直线看做静止 考点二 垂径定理及推论 A 如图，AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC = 5，CD = 8，则 AE 的长 ( ) A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm 提示：把圆看作运动，直线看做静止 如图，CD 为 ⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，OE = 12，AB = 10，求直径 CD 的长. 解：如图，连接 OA. ∵AB⊥CD，CD 过圆心 O，AB = 10， ∴AE = BE = 5，∠AEO = 90°. 在 Rt△AEO 中，由勾股定理得： ∴CD = 2AO = 26. 如图，∠C = 90°，以 AC 为半径的圆 C 与 AB 交于点 D .若 AC = 3，CB = 4，求 BD 的长. 解：如图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于 E， 则 AE = DE，在 Rt△ACB 中， E 考点三 弧、弦、圆心角关系 如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( ) A．51° B．56° C．68° D．78° A 考点四 圆周定理及推论 如图已知四边形 ABCD 内接于 ⊙O ，∠A =100°，则 ∠BOD = ( ) A. 80° B. 50° C. 160° D. 100° C 已知△ABC 内接于 ⊙O . AC 为 ⊙O 的直径，点 D 为优弧 BC 的中点. (1) 如图 ①，连接 OD，求证：AB∥OD； (2) 如图②，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E . 若 AE = 3，BC = 8，求⊙O 的半径. (1) 证明：如图 ①，延长 DO 交 BC 于 F. ∵ 点 D 为优弧 BC 的中点， ∴ . ∴ DF⊥BC. ∵ AC 为 ⊙O 的直径， ∴ AB⊥BC. ∴ AB∥OD. F (2)解：如图 ②，连接 DO 并延长交 BC 于 F. ∵点 D 为优弧 BC 的中点， ∴ ∴ DF⊥CB. ∵DE ⊥AC，∠DEO = ∠OFC = 90°. ∵∠DOE = ∠COF，OD = OC， ∴△DOE≌△DOE(AAS). F ∴ OF = OE = OA - 3. ∵ OC2 = OF2 + CF2， ∴ OC2 = (OC - 3)2 + 42. ∴ OC = . ∴ ⊙O 的半径为 . 考点五 切线的判定和性质 O C A B E D 50 如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作 ☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E 等于 °. 如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO 交⊙O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E． (1) 求证：PB 是⊙O 的切线； (2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的长． A B D C O E P (1) 求证：PB 是⊙O 的切线； 证明：连接 OB. ∵ PO⊥AB， ∴ AC = BC. ∴ PA = PB. ∵ PO = PO， ∴△PAO≌△PBO (SSS). ∴∠OAP =∠OBP. ∵ PA 是⊙O 的切线， ∴∠OAP = 90°. ∴∠OBP = 90°. ∴ PB 是⊙O 的切线. A B D C O E P (2) 若 AP = 5，PE = 13，求 DE 的长． 解：在 Rt△APE 中， 由勾股定理易得 AE = 12． 由 (1) 知 AP = BP = 5，则 BE = 8． ∵ PB 为⊙O 的切线，∴∠OBE = 90°. 设 OB = r，则 OE = 12 - r. 在 Rt△OBE 中，由勾股定理得 r2 + 82 = (12 - r)2， A B D C O E P 解得 r = . 考点六 与圆有关的计算 如图所示