专项1 利用勾股定理解决折叠问题-【勤径学升】2023-2024学年八年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

三角形中的折叠问题　　 如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD上的点E处，已知BC＝8，BE＝2，则AB2－AC2的值是(　　) A．10 B．16 C．6 D．4 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M，N分别在BC，AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长． 长方形中的折叠问题　　 (辽宁沈阳大东区期中)如图，长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE的长为(　　) A．4．8 cm B．5 cm C．5．8 cm D．6 cm 如图，在长方形ABCD中，AB＝12，BC＝16，将长方形ABCD沿直线AE折叠，使点B落在长方形ABCD内部的点F处，则CF的最小值是(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 如图，在长方形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝6 cm，把将长方形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，则AF的长为________． 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，使点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F．已知OP＝OF，求BF的长． 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处． (1)求证：B′E＝BF； (2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项1　利用勾股定理解决折叠问题 1．B　[解析]将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD上的点E处，则AE＝AC，DE＝CD，AD⊥BC，所以AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2－AC2＝AD2＋BD2－AD2－CD2＝BD2－CD2＝(BD＋CD)(BD－CD)＝BC·BE.因为BC＝8，BE＝2，所以AB2－AC2＝8×2＝16. 2．解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D， 因为AB＝AC＝5，BC＝6， 所以BD＝CD＝3，所以AD＝4. 因为将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合， 所以AM＝CM，AN＝AC＝，MN⊥AC. 设AM＝CM＝x，则MD＝x－3， 在Rt△ADM中，由勾股定理得，AD2＋MD2＝AM2， 即42＋(x－3)2＝x2，解得x＝. 在Rt△AMN中，由勾股定理，得 MN2＝AM2－AN2＝－＝， 所以MN＝. 3．C　[解析]设DE＝x cm，则BE＝DE＝x cm；AE＝AB－BE＝(10－x)cm.在Rt△ADE中，DE2＝AE2＋AD2，即x2＝(10－x)2＋16，解得x＝5.8.故选C. 4．B　[解析]连接AC.由题意，得AF＝AB＝12.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝202，所以AC＝20.当A，F，C三点不共线时，CF>AC－AF，当A，F，C三点共线时，CF＝AC－AF＝20－12＝8.所以CF的最小值是8. 5．　[解析]因为四边形ABCD是长方形，所以BC＝AD＝6 cm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝10 cm.由折叠的性质，得AE＝AB＝8 cm，EC＝BC＝6 cm，∠E＝∠B＝90°，在△ADF和△CEF中，所以△ADF≌△CEF，所以DF＝EF.设AF＝x cm，则DF＝EF＝(8－x)cm.在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2＋DF2＝AF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝.故AF的长为 cm. 6．解：由折叠的性质，知DE＝DC＝4. PE＝CP，∠E＝∠C＝90°， 在△FOE和△POB中， 因为∠E＝∠B＝90°，∠FOE＝∠POB，OF＝OP. 所以△FOE≌△POB，所以OE＝OB，EF＝BP， 所以OF＋OB＝OP＋OE.所以BF＝PE＝PC. 设BF＝PE＝PC＝x，则AF＝4－x，EF＝BP＝3－x.所以DF＝DE－EF＝4－(3－x)＝x＋1. 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AD2＋AF2＝DF2， 即32＋(4－x)2＝(x＋1)2， 解得x＝，即BF＝. 7．解：(1)由折叠的性质，得B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE， 在长方形纸片ABCD中，AD∥BC， 所以∠B′EF＝∠BFE， 所以∠B′FE＝∠B′EF，易得B′F＝B′E， 所以B′E＝BF. (2)a，b，c之间的关系是a2＋b2＝c2.理由如下： 由(1)知B′E＝BF＝c， 由折叠的性质，得∠A′＝∠A＝90°， A′E＝AE＝a，A′B′＝AB＝b. 在△A′B′E中，∠A′＝90°， 所以A′E2＋A′B2＝B′E2，所以a2＋b2＝c2. 学科网（北京）股份有限公司 $$