2023年九年级中考数学专题复习： 全等几何模型

全等几何模型 1.牵手模型 【模型1】△ABE和△ACF均为等边三角形 结论：（1）△ABF≌△AEC； （2）∠BOE =60°； （3）OA平分∠EOF． 【模型2】△ABD和△ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）BE=CD； （2）BE⊥CD． 【模型3】ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1）BD=CF； （2）BD⊥CF． 导角核心图形：八字形 2.邻边相等对角互补 【模型1】 条件：如图，四边形ABCD中，AB=AD，． 结论：AC平分． 【模型2】 条件：如图，四边形ABCD中，AB=AD，． 结论：． 3.半角模型 条件：①正方形；②． 结论：①；②的周长为正方形周长的一半． 也可以这样： 条件：①正方形；②． 结论：． 例1．在直线ACE的同一侧作两个等边三角形△ABC和△CDE，连接AD与BE，证明： （1）AD=BE； （2）∠ACB=∠AOB； （3）△PCQ为等边三角形； （4）PQ∥AE； （5）AP=BQ； （6）CO平分∠AOE． 1．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC，若BE=，求CD． 2．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD． （1）如图①，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= ； （2）如图②，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4，求BD的长； （3）如图③，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H，当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论． 例2．已知：，平分． （1）在图1中，若，证明：． （2）在图2中，若，，探究、、三者之间的数量关系，并给出证明； （3）在图3中：若（），，则（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）． 1．如图1，正方形和正方形，是正方形的对称中心，交于，交于． （1）猜想：与的数量关系； （2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且，其它条件不变，探索线段与线段的数量关系，并加以证明； （3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且，其它条件不变，探索线段与线段的数量关系，并说明理由； （4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且，，其它条件不变，求出的值（直接写出答案）． 例3．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于E、F． （1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证S△DEF+S△CEF=S△ABC； （2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF, S△CEF, S△ABC又有怎样的数量关系？请证明你的猜想． E 1．等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=2，O为AC中点，∠EOF=45°，求△BEF的周长． 例4．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°， （1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图1，求证：△AEG≌△AEF； （2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2，求证：EF2=ME2+NF2； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系． 1．在正方形ABCD中，已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且满足∠EAF=45°．求证：BE+EF=DF． 2．在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系． （1）如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式_________；此时=__________； （2）如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$