专题24.32 弧长和扇形的面积（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.32 弧长和扇形的面积（知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】弧长公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点提醒： 　　(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【要点二】、扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点提醒： 　　(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； 　　(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【考点一】求弧长 【例1】如图是某款“不倒翁”和它的主视图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可． 解：作，，和相交于点，如图， ∵，分别与所在圆相切于点，． ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 【举一返三】 【变式1】如图，点A、B、C是半径为6的上的三点．如果，那么的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可； 解：如图，连接，    ∵ ， ∴， ∵， ∴的长是：， 故选：C． 【点拨】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式． 【变式2】如图，四边形内接于，且的半径为r，． （1）若，求的长． （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论； （2）根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论． （1）解：连接，，，    四边形内接于，， ， ， 的长为； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ． 【点拨】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【考点二】求扇形的面积 【例2】如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键． 【举一返三】 【变式1】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可求，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 解：，，， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，扇形的面积公式，掌握性质及公式是解题的关键． 【变式2】如图，已知点D为等腰的斜边的中点，连接，以点B为圆心，为半径画弧，分别交、于点E、F，若，请求出图中阴影部分的面积．（结果保留）    【答案】 【分析】先求解，，可得，证明，再求解扇形面积，从而利用面积之差可得答案． 解：在等腰中，， ，， ． 点D为的中点， ， ， ∴． 【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，扇形面积的计算，熟练的利用割补法求解阴影部分的面积是解本题的关键． 【考点三】求扇形的圆心角和半径 【例3】已知扇形半径是3cm，弧长为，则扇形的圆心角为 度． 【答案】90 【分析】已知扇形半径是3cm，弧长为，直接利用弧长公式即可求出n的值． 解：， 解得：， 故答案为：90． 【点拨】本题考查了弧长计算公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． 【举一返三】 【变式1】一个扇形的面积为．弧长为．那么这个扇形的半径是（    ） A