专题24.26 切线长定理（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.26 切线长定理（知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点注意： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点注意： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【要点二】三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 　　要点注意： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 　　(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 【考点一】切线长定理➼➻求解 【例1】已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D． （1）若PA＝6，求△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠DOC． 【答案】（1）△PCD的周长为12；（2）∠DOC＝65°. 【分析】（1） ）连接OE，由切线长定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周长；（2）根据已知条件易求∠AOB＝130°；再证明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性质可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°. 解：（1）连接OE， ∵PA，PB与⊙O相切，∴PA＝PB＝6. 同理可得：AC＝CE，BD＝DE. ∴△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12. （2）∵PA，PB与⊙O相切， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°. 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）． ∴∠AOC＝∠COE. 同理：∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOC＝∠AOB＝65°. 【点拨】本题考查了切线的性质定理及切线长定理，熟练运用切线的性质定理及切线长定理是解决问题的关键. 【举一返三】 【变式】如图，PA，PB与⊙O相切，切点为A，B，CD与⊙O相切于点E，分别交PA，PB于点D，C．若PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根． （1）求m的值； （2）求△PCD的周长． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）根据切线长定理可得，则一元二次方程的判别式为0，进而即可求得的值； （2）根据（1）的结论求得的长，CD与⊙O相切于点E，则,根据△PCD的周长即可求解． 解： PA，PB与⊙O相切， PA，PB的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0的两个根 解得 （2） PA，PB与⊙O相切， CD与⊙O相切于点E， △PCD的周长 【点拨】本题考查了切线长定理，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握切线长定理是解题的关键． 【考点二】切线长定理➼➻证明 【例2】如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD． （1）求证：BC＝CD； （2）若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据切线长定理证明即可； （2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可． 解：（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B， 是的切线， CD是的切线， （2）连接，， 是的切线，， BC＝3， 是等边三角形， ， 是直径 【点拨】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾