专题24.21 切线的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.21 切线的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】切线的判定定理 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点注意： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 【要点二】切线的判定定理 　　圆的切线垂直于过切点的半径. 要点注意： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 【考点一】切线的判定➼➻证明 【例1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，以为直径的与相交于点．在上取一点，使得． 求证：是的切线．    【分析】连接，如图所示，利用两个三角形全等的判定得到，由全等性质得到，即，从而根据切线的判定得到答案． 解：证明：连接，如图所示：    在和中， ， ∴， ， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【点拨】本题考查切线的判定，涉及圆的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定，熟练掌握切线的判定方法是解决问题的关键． 【举一返三】 【变式1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，为的直径，C为上一点，过点C的直线于点，平分． 求证：是的切线． 【分析】连接，由为平分，得到一对角相等，再由半径，等边对等角得到另一对角相等，等量代换得到内错角相等，可得出与平行，由，可得出，即可得证． 解：证明：连接，    平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 则是的切线． 【点拨】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，以及平行线的判定，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 【变式2】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，，与相交于点，以点为圆心的圆过，两点及的中点，求证：是的切线．    【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质及切线的判定即可解答． 解：证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是的切线．    【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点二】切线的性质定理➼➻证明★★求值★★求角角 【例2】（2023·陕西咸阳·统考二模）如图,为的直径,与相切于点E，于点D，交于点C，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】（1）由切于点E知, 结合于点D知, 从而得, 即可得证； （2）连接交于点F，证四边形是矩形，根据三角形的中位线，即可得出答案． 解：（1）证明∶∵与相切于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． （2）解∶连接交于点F，    ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵,点O是的中点, ， ∴ 【点拨】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键. 【举一返三】 【变式1】（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）如图，是的直径，点C在半径上，在上取点D，使，过点A作的切线交的延长线于点E．    （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见分析； （2）5 【分析】（1）由圆周角定理及切线的性质证出，则可得出结论； （2）设，则．进而得，，然后由勾股定理得，求解得，即可求解． 解：（1）证明：是的直径， ，即． 为的切线， ， ． ， ， ， ． （2）解：设，则． ， ， ，． ， ， ， 解得（舍去）或， ， ，即的半径为5． 【点拨】本题考查圆周角定理的推论，切线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理．熟练掌握圆周角定理的推论和切线的性质上解题的关键． 【变式2】（2022秋·山东临沂·九年级临沂第九中学校考期中）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，交的延长线于点C，连接延长，交点E．    （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见分析； （2） 【分析】（1）连接，由切 O于点D，得到，由于，得到，得出，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结论； （2）由平行线的性质可得，利用直角三角形所对的边是斜边的一半，再可利用勾股定理求出的长，根据，求出，利用直角三角形所对的边是斜边的一半即可求出． 解：（1）证明：如图，连接，    切于点， ． ， ，