专题24.18 直线和圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.18 直线和圆的位置关系（知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】直线和圆的三种位置关系 　　(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． 　　(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． 　　(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 【要点二】直线与圆的位置关系的判定和性质 　　直线与圆的位置关系与点与圆的位置关系一样通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来进行判断 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 　　 【考点一】判断直线和圆的位置关系 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =4cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ ）． A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】作CD⊥AB于点D．在Rt△BCD中，∠B=30°，得CD==2，与圆的半径比较，作出判断． 解：作CD⊥AB于点D． ∵∠B=30°，BC=4cm， ∴ 即CD等于圆的半径． ∵CD⊥AB， ∴AB与⊙C相切． 故选：B． 【点拨】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当r>d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R<d时，直线与圆相离． 【举一返三】 【变式1】已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 解：作于，如图所示： ，，， ， ∵的面积， ， 即圆心到的距离， ， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故选：C． 【点拨】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式2】已知的直径是6，直线l是的切线，则圆心O到直线l的距离是（     ）． A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据圆与直线的位置关系可得：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 解：由⊙O的直径是6，可知的半径是3，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是3． 故选：A 【点拨】本题考查圆与直线的位置关系，记忆理解判定条件是解题的关键． 【考点二】由直线与圆的位置关系➼➻求半径的取值范围 【例2】如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（   ） A．（0，0） B．（2，0） C．（-6，0） D．（2，0） 或（-6，0） 【答案】D 【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解． 解：①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示： ∵ ∴，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴⊙M与直线AB相切于点A ∵ ∴ ∴圆心M的坐标为； ②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示： ∵⊙M与直线AB相切， ∴ 根据直线AB的解析式：可知 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴圆心M的坐标为， 综上所述：圆心M的坐标为或， 故选：D． 【点拨】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键． 【举一返三】 【变式1】如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点拨】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求