2023--2024学年中考数学专题复习：二次函数综合问题之相似、角度、线段

二次函数综合问题之相似、角度、线段 1. 二次函数相似问题： 相似三角形的存在性问题，一般采用“AA”或者“SAS”去判断。所以做这类题，关键是：一找两个三角形有没有相等的角？（一般都是特殊角，比如30°，45°，60°，90°）二找有没有相等的线段？极少出现需要用“SSS”去判定相似的。 2. 二次函数角度问题： 求两个角相等的思路有：一是把两个角度求出来；二是通过全等、相似等几何知识证明；（重点）三是求出这两个角的三角函数值，初中阶段，只要两个角的三角函数值相等，这两个角就是相等的。 如果两个角度有倍数关系，我们要学会把倍数的角给找出来！如∠A=2∠B，2∠B等于图中哪个角？或者∠A等于图中哪个角？我们学会转化 3.二次函数线段问题： 如果一条直线是平行于y轴（或者就是y轴本身），如果我们要求直线上两点的距离，我们就用上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标，这样子处理就不用加绝对值了。同理，如果一条直线是平行于x轴（或者就是y轴本身），如果我们要求直线上两点的距离，我们就用右边点的横坐标减去左边点的横坐标，这样子处理也不用加绝对值！其他最值问题，道友们可查看我其他资料！ 温馨提示：y=kx+b(k≠0)，如果k=±1，直线与x轴所夹的锐角就会等于45°；k=，直线与x轴所夹的锐角就会等于30°；，直线与x轴所夹的锐角就会等于60° 例1．如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线BC的解析式； （3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由． 对应练习1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式． （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 对应练习2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D． （1）求b、c的值； （2）当t为何值时，点D落在抛物线上； （3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由． 例2．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数； （3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标． 对应练习1．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标； （3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 例3．已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）． （1）求抛物线l2的函数表达式； （2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标； （3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值． 对应练习1．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是 ﹣2． （1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标． （2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由． （3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？ 对应练习2．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点． （