专题14.5 整式的乘法（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题14.5 整式的乘法（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 要点提醒： （1） 单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2） 单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 【知识点2】单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 要点提醒： （1） 单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的 问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 【知识点3】多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点提醒： 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【考点一】整式的乘法➼➻单项式乘以单项式 【例1】（2023秋·上海浦东新·七年级统考期中）计算： 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果． 解：原式 【点拨】此题考查了整式的加法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·上海松江·七年级校考阶段练习）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂相乘，计算求解即可． 解： , 故选：D． 【点拨】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂相乘．解题的关键在于正确的运算． 【变式2】（2023秋·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是 ． 【答案】/ 【分析】根据与的差是一个单项式，可得两者为同类项，进而得出两个单项式分别为，，进一步计算即可． 解：∵单项式与的差是一个单项式， ∴与是同类项， ∴两个单项式分别为，， ∴这两个单项式的积是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【考点二】整式的乘法➼➻单项式乘以多项式 【例2】（2023秋·八年级课时练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用单项式乘多项式法则计算； （2）先算积的乘方，再利用单项式乘多项式法则计算； （3）先算单项式乘多项式，积的乘方，再去括号，合并同类项即可． （1）解： ； （2） （3） ． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及了单项式乘多项式，合并同类项，积的乘方，掌握相应的运算法则，细心计算是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·福建泉州·八年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）代数式的值（   ）． A．只与x、z有关 B．与x、y、z都有关 C．只与x、y有关 D．与x、y、z都无关 【答案】C 【分析】根据单项式乘多项式的法则去括号，合并同类项后，即可作出判断． 解： ， 所以代数式的值只与x，y有关． 故选：C． 【点拨】此题考查了单项式乘多项式，整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）若有理数满足，则的值为 ． 【答案】2028 【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可． 解：由得：， 所以： ． 故答案为：2028． 【点拨】本题考查的是代数式的求值，利用整体代入进行降次是解题的关键． 【考点三】整式的乘法➼➻多项式乘以多项式 【例3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据多项式乘以单项式，单项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据非负数的性质求出m、n的值，最后代值计算即可． 解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴，