专题14.1 幂的运算（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题14.1 幂的运算（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】同底数幂的乘法性质 (其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点提醒： （1） 同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2） 三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整 数） （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）. 【知识点2】幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点提醒： （1） 公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 【知识点3】积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点提醒： （1） 公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【知识点4】注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【考点一】同底数幂的乘法➼➻同底数幂乘法的运算★★科学记数法 【例1】（2022秋·全国·八年级专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）先根据同底数幂的乘法法则计算出各数，再合并同类项即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式． 【点拨】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解答此题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023秋·八年级课时练习）光速约为，太阳光照射到地球上大约需，地球与太阳的距离大约是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据速度乘以时间求出路程，然后根据科学记数法表示即可求解． 解：地球与太阳的距离大约为， 故选：B． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，科学记数法，掌握幂的运算是解题关键． 【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）若，则的值为 . 【答案】16 【分析】根据同底数幂的乘法可进行求解． 解：∵， ∴； 故答案为16． 【点拨】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键． 【考点二】同底数幂的乘法➼➻同底数幂乘法的逆运算 【例2】（2022秋·六年级单元测试）已知方程的解与方程的解互为相反数，求： （1）m的值； （2）代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出方程的解，再利用相反数的定义以及方程解的定义，即可求出未知数的值； （2）将（1）问中求出的m的值代入，逆用同底数幂相乘的法则求得代数式的值． （1）解：解方程得，， 根据题意得，是方程的解， ∴， 解得； （2）解：将代入得： ． 【点拨】本题考查考查解含字母系数的一元一次方程，同底数幂相乘的逆用，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·福建三明·七年级校考阶段练习）已知，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据同底数的乘法法则构造一元一次方程即可得解． 解：∵， ∴即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）若，，则等于 ． 【答案】/0.75 【分析】用同底数幂的除法运算即可． 解： 故答案为： 【点拨】本题主要考查同底数幂除法运算，掌握相关运算法则并能根据所求代数式的形式进行转化是解题的关键． 【考点三】幂的乘方➼➻幂的乘方的运算 【例3】（2022春·湖南郴州·七年级校考期中） （1）化简； （2）若，求、的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据积的乘方法则、同底数幂相乘法则计算即可； （2）根据积的乘方和同底数幂乘法的计算法则可得，则且，由此求解即可． 解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴且， ∴，． 【点拨】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，解一元一次方程，熟知同底数幂乘法和积的乘方计算法