浙江省杭州第二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

杭州二中2023学年第一学期高二年级期中数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “”是“直线：与直线：互相垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 已知事件相互独立，，，则（ ） A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72 3. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4. 已知，则点O到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 5. 点在圆上运动，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 6. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A． B． C． D． 7. 已知是圆上两点，且. 若存在，使得直 线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B. C． D． 8. 已知动点分别在正四面体的内切球与外接球的球面上，且，则的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某学校随机抽取100名学生数学周测成绩的频率分布直方图如 图所示, 据此估计该校本次数学周测的总体情况(同一组中的数 据用该组区间的中点值为代表), 下列说法正确的是（ ）      A. 众数为60或70 B. 45%分位数为70 C. 平均数为73 D. 中位数为75 10. 已知点P(0, 1)和直线l: , 下列说法不正确的是 （    ） A.经过点P的直线都可以用方程表示 B.直线l在y轴上的截距等于1 C.点P关于直线l的对称点坐标为 D.直线l关于点P对称的直线方程为 11. 如图, 棱长为2的正方体中, E、F分别为棱A1D1、AA1的中点, G为面对角线B1C上一个动点, 则（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 点E到直线B1C的距离为 C．线段B1C上存在点G, 使得FG⊥BD D．线段B1C上不存在点G, 使平面EFG//平面BDC1 12. 已知分别为椭圆的左、右焦点，下列说法正确的是（  ） A. 若点P为椭圆上一点, 则的最大值是2c B. 若点的坐标为, P是椭圆上一动点, 则线段长度的最小值为 C．过F2作垂直于x轴的直线, 交椭圆于A, B两点, 则 D．若椭圆上恰有6个不同的点, 使得为等腰三角形, 则椭圆的离心率的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在两坐标轴上的截距相等，且与圆相切的直线有 条. 14. 已知矩形ABCD，，沿对角线AC将折起，若，则二面角 的余弦值为 ． 15. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点 分别在第一、第二象限内，若与的面积相等，且， 则椭圆的离心率为 . 16. 某同学回忆一次大型考试中的一道填空题，题目要求判断一条给定直线与给定圆的位置关系，该同学表示，题中所给直线与圆的方程形式分别为，，但他忘记了方程中的三个参数的具体值，只记得，并且他填写的结果为直线与圆相交。若数组的每一种赋值的可能性都相等，则该同学该题答对的概率为____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本题满分10分）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若, , . （Ⅰ）求; （Ⅱ）求和夹角的余弦值. 18. （本题满分12分）为调查高一、高二学生心理健康情况, 某学校采用分层随机抽样方法从高一、高二学生中分别抽取了60人､40人参加心理健康测试(满分10分). 经初步统计, 参加测试的高一学生成绩的平均分, 方差, 高二学生成绩(i= 1, 2, …, 40)的统计表如下: 成绩y 4 5 6 7 8 9 频数 1 2 9 15 10 3 （Ⅰ）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差； （Ⅱ）估计该学校高一､高二全体学生的平均分和方差. 19. （本题满分12分）在信道内传输0, 1信号, 信号的传输相互独立. 发