4.2.1指数函数的概念课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.2指数函数 4.2.1指数函数概念 实例引入 问题1：自己动手折纸，一张A4纸，对折x次后，观察对折的次数x与所得层数y之间满足什么样的关系？ 问题2：细胞分裂时,由1个分裂成2个，2个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x次以后，得到的细胞个数y与x有怎样的关系？ 问题3：庄子在《庄子 天下篇》中写道：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”用现代文来类比这样的行为：有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长的 第二次再剪去剩余绳子的 ，.....这样剪了x次后绳子剩余的绳子长度y与x有什么的关系？ 一般地，函数 y=ax (a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. 探究 上面三个函数解析式有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ 根据上面的函数关系式给出指数函数的概念? 一般地，函数 y=ax (a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R. ※指数函数y=ax (a>0,且a≠1)的结构特征： 底数a: a>0,且a≠1，且不含自变量x 指数： 仅有自变量x,且x的系数是 1 系数： ax的系数是1,即1·ax 变式： 函数 + 2-b 是指数函数,求a,b的值. 例1 下列函数是指数函数吗？ 待定系数法求指数函数的解析式或函数值 变式训练 指数函数的解析式要符合以下三个特征 (1)底数a为大于0且不等于1的常数; (2)自变量x出现在指数位置上; (3)ax的系数等于1. 4.2.2指数函数的图像与性质 描点画出函数 y=2x 与 的图象 思考 ：函数 y=2x 与 的图象有什么关系？是否可以利用 y=2x 的图象画出 的图象？ 指数函数的图象与性质 例 如图是指数函数 y=ax (a>0,且a≠1)的图象,已知 a 的值取为 ,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的a依次为__________________. 一、指数函数图像问题 变式训练：已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 二、利用指数函数单调性比较数的大小 例3 比较下列各题中两数的大小. 解： 可以看作函数 的两个函数值. 由于底数1.7>1，所以指数函数 在R上是增函数. 因为2.5<3，所以 三、利用指数函数单调性解不等式 P59 8.已知下列不等式，比较m,n的大小 变式训练 已知 求x的取值范围. 2.函数 的定义域是 . 例 求下列函数的定义域. 变式训练 1.函数 的定义域为 . 3.函数 的定义域为 . 四、定义域问题 五、最值问题 例3 已知函数 在区间 上的最大值比最小值大 ，求a的值 变式训练 (1)若指数函数 在 上的最大值等于3a，求a. (2)若函数 在区间 上的最大值与最小值的和为3,求a的值 1.已知函数 ,a为实数,当 为奇函数,求a. 2.若函数 是定义在R上的奇函数,且当 时, ,求 的解析式. 六、课后作业 3.函数 的单调性 4.求函数 的定义域. 【变式训练1】 下列函数中,指数函数的个数为(　　) ①y=(-2)x;　②y=πx;　③y=5x-1; ④y=;　⑤y=. A.0 B.1 C.2 D.3 例2　已知指数函数f(x)=ax(a＞0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 解析　因为f(x)＝ax，且f(3)=π，则a3=π，解得a=， 于是f(x)＝. 所以，f(0)＝，f(1)＝，f(-3)＝ 若指数函数f(x)=(3b-2)(a-1)x的图象经过点,求实数a,b的值. 解:由指数函数的定义可知3b-2=1,解得b=1,于是f(x)=(a-1)x. 又因为图象经过点,所以=a-1, 解得a=.故a=,b=1. 函数y=ax 0<a<1 a>1 图　象 过定点(0,1),即x=0时,y=1 定义域 R 值　域 (0+∞) 单调性 减函数 增函数 $$