2023—2024学年华东师大版数学九年级上册探究题例题讲解

九年级上学期探究题例题讲解 例1. 如图26,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G. （1）观察猜想:线段EF与线段EG的数量关系是__________; （2）探究证明:如图27,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由; （3）拓展延伸:如图28,将（2）中的正方形改为矩形,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若,求的值. 解:（1）; （2）成立. 理由如下:作于点M,于点N, 则,四边形CMEN是矩形 ∴ ∵四边形ABCD是正方形 ∴平分 ∵, ∴ ∵ ∴ 在△EMG和△ENF中 ∵ ∴△EMG≌△ENF（ASA） ∴; （3）作于点M,于点N, 则,四边形CMEN是矩形 ∴, ∵ ∴ ∴△EMG∽△ENF ∴ 在Rt△ACD中 ∵ ∴. 例2. 问题发现 （1）如图（1）,在Rt△ABC中,,点D、E分别在AB、AC边上,且,设BD、CE所在直线的夹角为. 填空:BD与CE的比值为_________,_________; 拓展探究 （2）将Rt△ADE绕点A逆时针旋转,连结BD、CE,在旋转的过程中,（1）中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图（2）中的情形给出证明;若不成立,请说明理由; 问题解决 在Rt△ADE绕点A逆时针旋转的过程中,当E、C、B三点共线时,请直接写出点D到EC的距离. 提示 （1）BD、CE所在直线的夹角为,即 ∴, ∴ 由勾股定理可得: ∵ ∴ ∴ ∴; 解:（2）成立. 理由如下:由旋转的性质得: 在Rt△ABC中,由勾股定理得: ∴ ∴△ABD∽△ACE ∴, ∴ ∴ ∴（1）中的结论仍然成立; （3）或 提示 分为两种情况: ①当点E在BC边上时,如图40所示,作. 由前面可知,BD、CE所在直线的夹角（锐角）为 ∴ ∴ ∴,设,则 在Rt△BDF中,由勾股定理得: ∵ ∴,∴ ∴ 在Rt△DEF中,由勾股定理得: ∴ 解之得: 当时,,不符合题意,舍去. ∴,; ②当点E在CB的延长线上时,如图42所示. 此时, 在Rt△DEF中,由勾股定理得: ∴ 解之得:（不符合题意,舍去） ∴,. 综上所述,当E、C、B三点共线时,点D到EC的距离为或. 点评 利用图41可以证明,证明如下: ∵△ABD∽△ACE ∴ ∴ ∴. 例3.（1）; （2）解:成立 理由如下:由旋转的性质可知: 在图1中,∵ ∴△ADE∽△ABC ∴,∴ ∵, ∴△ABD∽△ACE ∴ ∴; （3）1或2. 例4.（10分）如图1所示,边长为4的正方形ABCD与边长为的正方形CFEG的顶点C重合,点E在对角线AC上. 【问题发现】如图1所示,AE与BF的数量关系为_________; 【类比探究】如图2所示,将正方形CFEG绕点C旋转,旋转角为（）,请问此时上述结论是否还成立?如成立写出推理过程,如不成立说明理由; 【拓展延伸】若点F为BC的中点,且在正方形CFEG的旋转过程中,有点A、F、G在一条直线上,直接写出此时线段AG的长度为__________. 解:（1）;提示:∵ ∴（平行线分线段成比例定理） ∴ ∴. （2）成立;理由如下:连结CE,如图所示. 由旋转的性质可知: ∵ ∴△ACE∽△BCF ∴ ∴; （3）或. 提示:分为两种情况: ①如图4所示,设CE、FG相交于点O ∵ ∴ ∴ ∵四边形ABCD为正方形 ∴ 在Rt△中,由勾股定理得: ∴; ②如图5所示. 此时,. 综上所述,线段AG的长度为或. 例5. 在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠EDB=∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F. （1）当AB=AC时,（如图1）, ①∠EBF=_________; ②探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明; （2）当AB=kAC时（如图2）,求的值（用含k的式子表示）. 解:（1）①22.5°; ②∵AB=AC,∠A=90° ∴ 延长BE至点G,使EG=BE,连结DG,交AB于点H,如图3所示. ∵ ∴ ∵EG=BE, BE⊥DE ∴DE垂直平分BG ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴△BDH是等腰直角三角形 ∴ 由①可知: ∴ 在△DFH和△BGH中 ∵ ∴△DFH≌△BGH（ASA） ∴ ∵ ∴; （2）延长BE至点G,使EG=BE,连结DG,交AB于点H,如图4所示. 同（1）②可证: ∴△GBH∽△FDH ∴ ∵ ∴△BHD∽△BAC ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴. 例6.（1）问题提出 如图1,在△ABC中,,D、E分别在边AB、AC上,且,点M、N分别是BC