求圆锥曲线离心率的常用方法 讲义——2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

高中数学求圆锥曲线离心率的常用方法 离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，其中椭圆的离心率：0＜e＜1；双曲线的离心率：e＞1；抛物线离心率：e=1.下面介绍求圆锥曲线离心率的常用方法. 一、直接求出a、c，求解e 在求解离心率e的题目中，存在以下关系：椭圆中a2=b2+c2；双曲线中c2=a2+b2.这两个关系对于求解椭圆与双曲线的离心率是非常重要的.已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解. 【例1】过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ） A. B. C. D. 【分析】这里的，故关键是求出b2，即可利用定义求解. 解：易知A(-1,0)，则直线l的方程为y=x+1.直线与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为、，又|AB|=|BC|，可解得b2=9，则故有，从而选A. 【例2】已知椭圆C的短轴长为6，左焦点F到右端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为？ 解：椭圆的短轴长为6.所以b=3，右焦点F到右端点的距离等于9，所以a+c=9.又a2=b2+c2，解得a=5，b=4.根据公式，可得. 二、变用公式，整体求出e 椭圆与双曲线求离心率还有如下变形： 椭圆：；双曲线： 【例3】已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【分析】本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式. 解：由（其中k为渐近线的斜率）.这里，则，从而选A. 三、统一定义法 由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题. 【例4】在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则MF⊥x轴，知|MF|是通径的一半，则有.由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B. 四、等量关系 利用题目中所给的几何关系或者条件得出a，b，c的关系，然后根据b2=a2-c2（椭圆）或者b2=c2-a2（双曲线），消除b，得到关于a，c的方程，从而得到e的方程，继而解出e. 【例5】设双曲线的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为？ 解：双曲线的渐近线方程为，又这条渐近线与y=x2+1相切，将渐近线与抛物线联立方程得ax2-bx+a=0，Δ=b2-4a2=0（相切只有一个交点）.又b2=c2-a2，所以c2-a2-4a2=0，即c2=5a2.等式两边同时除以a2得：. 【例6】设双曲线的半焦距为c，直线L过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为？ 解：根据截距式可知直线L的方程为：，再根据原点到直线的距离公式可得：.两边同时平方得16a2b2=3c4，又b2=c2-a2，整理得3c4-16a2c2+16a4=0，两边同时除以a4得：3e4-16e2+16=0.得e=2或.又a<b，，所以e=2. 五、构造a、c的齐次式，解出e 根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值. 【例7】、已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 解：如图，设|OF1|=c，MF1的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式|PF1|=-exP-a，即，得c2-2a2-2ac=0，有e2-2e-2=0，解得，故选D. 六、特殊结论 椭圆： 双曲线： 【例8】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率为？ 解：由题意可知α=60°，β=90°，γ=30°.根据公式得. 【例9】设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点A在双曲线上，且AF2与x轴垂直，若，则双曲线的离心率为？ 解：根据题意得.根据公式得e=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$