3.2 双曲线习题课限时练——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线习题课限时练 班级：_____ _____组_____号 姓名：____________ 分数：__________ 基础题：1-5，9-10，13；综合题：6-7，11-12，15；拔高题：8，14，16 一、单选题（每题5分，共40分） 1．双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 2．已知，分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，满足，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点是的右支上一点，，连接与轴交于点，若(为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知双曲线的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 7．如图，是坐标原点，是双曲线右 支上的一点，是的右焦点，延长分别交E于两点，已知，且，则（    ） A．的离心率为 B．的离心率为 C． D． 8．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B．的焦距是 C．的离心率为 D．的面积为 班级：_____ _____组_____号 姓名：____________ 分数：__________ 三、填空题 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C相交于A，B两点，且点A在x轴上方，若，，则双曲线C的离心率的取值范围是 ． 10．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，且，，，则的面积为 . 11．过点的直线与直线垂直，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的渐近线方程为 ，离心率为 . 四、解答题（每题5分，共20分） 12．已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为. （1）求双曲线的标准方程； （2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值. 13．已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程 参考答案： 1．B 【详解】由题意得：，解得， 所以双曲线的实轴长为. 故选：B 2．A 【详解】设双曲线的焦距为，则. 因为，所以为圆与双曲线的交点. 联立，解得， 所以的面积为. 故选:A. 3．B 【详解】 设，， 因为，所以， 因为，， 所以， 由，所以， 因为，解得：，， 在中，由勾股定理可得：， 即，可得，所以， 可得，即， 所以渐近线方程为：， 故选：B 4．D 【详解】由题知，如图所示：    设P，F1（－c，0），F2（c，0）， 由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜， 即＝2c， 得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0， 即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥， 又0＜e＜1，所以≤e＜1. 故选：D. 5．D 【详解】如图所示，, 又双曲线的渐近线关于轴对称，,为等腰三角形， 作,垂足为,过作轴，交渐近线第一象限部分于, 则，, . 由三角形相似的性质得,即， 整理得， 故选：D. 6．A. 【详解】由题意可知，， 则由得； 所以，渐近线方程为，即 故选：A. 7．AC 【详解】如图，取的左焦点，连接， 由对称性可知，，设， 则， 在中，， 解得或舍去，所以． 在中，，，整理得， 故的离心率为正确，不正确．因为是的中点，所以正确，不正确． 故选：AC 8．ACD 【详解】设，则，，离心率，选项C正确， ∴，，选项A正确， ，选项B错误， 设，将代入得， 的面积为，选项D正确， 故选:ACD. 9． 【详解】因为且互相平分，所以四边形是矩形. 在直角三角形中，，所以，故 当时，，当则 由双曲线定义知，又因为,可得，解得或(舍去) 故答案为: 10． 【详解】∵|AF2|=3，|BF2|=5， 又|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF2|﹣|BF1|=2a， |AF2|+|BF2|－|AB|=4a=3+5－4=4，，|BF1|=3 又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2， 则∠F2AB=90°， ,， =. 故答案为：． 11．