5.2.1三角函数的概念 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1课时 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 5.2 三角函数的概念 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 一、引入新课 ﹒ ∽ M O y x P(a,b) 二、探究新知 任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 那么:（1） y叫做α的正弦，记作 ，即 ； （2） x叫做α的余弦，记作 ，即 ； （3）叫做α的正切，记作 ，即 . 所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. ﹒ 使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域. 点拨： 在弧度制下，三角函数以角为自变量，就是以实数（弧度数）为自变量；以角终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值为函数值，就是以实数为函数值，因此三角函数是函数的一种，是一种特殊的函数. 三、运用新知 . ， ， ， ， ， ， . 思考：一般的，设角α终边上任意一点的坐标为（x,y）, 它与原点的距离为r,则sinα=, cosα=, tanα=，你能自己给出证明吗？ 证明：如图，设角α的终边与单位圆交于点P0(x0,y0).分别过点P,P0作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|,△OMP∽△OM0P0. 于是,即|y0|=. 因为y0与y同号，所以y0=.即sinα=. 同理可得cosα=, tanα=. 四、学生练习 1.利用三角函数定义，求的三个三角函数值. 答案：sin0=0,cos0=1,tan0=0; sin=1, cos=0, tan不存在; sin2=0, cos2=1, tan2=0. 2.利用三角函数定义，求的三个三角函数值. 答案：sin=, cos=, tan=. 3.已知角α终边上有一点P(-1,2)，分别求tanα,sinα,cosα的值． 解： 角α终边上有一点P(-1,2)， ∴r=|OP|=， 则sinα=，cosα=，tanα=-2． 4.已知角α的终边上有一点的坐标是P(3a,4a)，其中a≠0,，求sinα,cosα,tanα． 解：∵P(3a,4a) ，∴|OP|=． 当a＞0时，sinα=，cosα=，tanα=； 当a＜0时，sinα=，cosα=，tanα=. 五、归纳小结 回顾讨论，总结本节课学习内容： 1．知识：任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域. 2．思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化思想. 六、布置作业 课本179-180页练习1、2、3、4题. 谢 谢！ 问题：锐角三角函数的这些坐标表示，形式上与点 的坐标值有关，点的位置不同，表示式中的， 不同，但实际上作为锐角三角函数的值与终边上点 的坐标值有关吗？ 问题：为了表示角的三角函数的值，可在终边上取 一个“比较好”的特殊点，同学们认为哪个点比较好？ 例1 求的正弦、余弦和正切值 分析：关键是作角，进而写出与单位圆交点坐标，利用定义求解. 解：在直角坐标系中，作 ，易知 的终边与单位圆的交点坐标为 .所以， 变式：若把角改为呢? 答案： 例2 已知角的终边经过点，求角的正弦、 余弦和正切值. 分析：利用相似三角形将任意点转化到单位圆上点， 然后利用定义求值. 解:由已知可得 设角的终边与单位圆交于 分别过点、作轴的垂线、，则 ， ，,∽， 于是 ； $$