5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 5.2.2 同角三角函数的基本关系 通过对三角函数同角关系式的推导，在公式的形成过程中理解两个公式及其之间的内在联系； 能够熟练运用关系式解决已知其中一个三角函数值求其余两个三角函数值问题，并能结合函数所在象限的符号，灵活运用公式解决简单化简、求值问题，掌握公式的简单变换技能； 在同角关系式的探索中体会数学学习是一种发现、创造的过程，在解决问题中感悟方程思想、化归转化、分类讨论等数学思想方法对解题的指导作用. 学习目标 探究：你能从圆的几何性质出发，讨论同一个角的不同三角函数之间的关系吗？ 一、问题引入 思考：已知，求的值. 思考：已知，求的值. 在Rt△OMP中，由勾股定理有 MP2 + OM2= 即sin2α+cos2α=1. OP2=1， 证明： ①当角α的终边不在坐标轴上时， ②当角α的终边在x坐标轴上时， ③当角α的终边在y坐标轴上时， MP=sin α，OM=cos α. 1.平方关系：. 二、新知探究 . . 4 4 设角α的终边与单位圆交于点P(x，y).根据三角函数定义，有，，. 由此可得sin α，cos α，tan α满足什么关系？ 上述关系称为商的关系，其成立的条件是什么？ 2.商的关系 . . 5 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切. 平方关系和商的关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？ sin2α+cos2α=1； , . 6 因为m2+无解，所以不存在. 因为sin2α+cos2α=1，所以存在. 思考 我们在使用关系式时必须注意是对“任意”一个角，即在使得函数有意义的前提下，关系式都成立. 1 为什么不等于1？ 因为不是“同角”. 思考 ？ ？ 三、应用举例 解：因为sin α＜0，sin α≠-1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α+cos2α=1，得cos2α=1-sin2α=1-=. 如果α是第三象限角，那么cos α＜0， 所以cos α=，所以tan α=. 如果α是第四象限角，那么cos α=， tan α=. 例1 已知sin α=-，求cos α，tan α. 解：由sin2α+cos2α=1，， 联立方程组解得：sin α=，cos α=. 由tan α=2，得α在第一或第三象限， 当α在第一象限时，sin α=，cos α=. 当α在第三象限时，sin α=，cos α=. 例2 已知tan α=2，求sin α，cos α. 总结 （1）判断角的象限； （2）确定函数值的符号； （3）求解. 变式1：已知tan α=2，求. 方法1：直接求出sin α，cos α，然后代入求解. 方法2--切化成弦： 由tan α=得sin α=2cos α， . 方法3--弦化切： . 变式1：已知tan α=2，求. 思考：（1）若改成，能否也能用弦化切解决呢？ . （2）若改成，还能够统一化成切吗？ 不能 （3）若改成呢？ 能 总结一下，能够统一为正切的原因在哪里？式子应该具有怎样的共同特征？ 归纳： 每项次数均相同，类似于这样的式子称之为齐次式，由齐次式构成的分式称为齐次分式. 对于齐次分式的处理方法： 令分子分母同除同次因式，可以实现弦化切的目的. 例3 求证：. 解：由cos x≠0，知sin x≠-1， 所以1+sin x≠0，于是 左边=====右边. 所以原式成立. 规律方法： （1）利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式．方法有从左至右，从右至左或从两侧证明等于同一式，还可用比较法与分析法． （2）注意切化弦、弦化切及平方关系的应用． 四、归纳小结 1.同角三角函数基本关系； 2.化简常用方法（切化弦、弦化切、构造齐次式）. 五、布置作业 完成教材P184练习. 谢 谢！ 满足 的角存在吗？ 满足 呢？ $$