4.5.2 用二分法求方程的近似解课件——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 4.5 函数的应用(二) 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用; 能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想; 体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 学习目标 一、引入新课 思考:一元二次方程可用判别式判定根的存在性,可用求根公式求方程的根.但对于一般的方程,虽然可用零点存在性定理判定根的存在性,而没有公式求根:如何求得方程的根呢? 二、探究新知 观察图形,怎样求方程lnx+2x-6=0的根? 方程的根在(2,3)区间内. 能否用缩小区间的方法逼近方程的根? 我们用一种常见的数学方法—二分法,共同探究已知方程的根. 区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 –0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.5625 0.066 (2.5,2.5625) 2.53125 –0.009 (2.53125,2.5625) 2.546875 0.029 (2.53125,2.546875) 2.5390625 0.010 (2.53125,2.5390625) 2.53515625 0.001 ①函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内有零点. ②如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,我们可以得到零点的近似值. ③通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. ④取区间(2,3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)≈–0.084.因为f(2.5) f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.再取内间(2.5,3)的中点2.75,用计算器算得f(2.75)≈0.512. 因为f(2.5) f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内. ⑤由于(2.5,2.75) (2.5,3) (2,3),所以零点所在的范围确实越来越小了. ⑥例如,当精确度为0.01时,由于|2.5390625-2.53125| = 0.007 812 5<0.01,所以,我们可以将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值,也即方程lnx+2x-6=0根的近似值. 1.二分法: 对于区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.给定精确度 ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步聚如下: (1)确定区间[a,b],验证f(a) f(b)<0,给定精确度 ; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c); ①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a) f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c) f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 :即若|a-b|< ,则得到零点近似 值a(或b);否则重复2~4. 三、运用新知 例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1). 解:原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算 机作出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象: x 0 1 2 3 4 f(x)=2x+3x–7 –6 –2 3 10 21 x 5 6 7 8 f(x)=2x+3x–7 40 75 142 273 观察图或表可知f(1) f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1) f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5). 再取(1,1.5)的中点x 2=1.25,用计算器算得f(1.25)≈–0.87.因为f(1.25) f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5). 同理可得x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375,1.4375). 由于|1.375–1.4375|=0.0625<0.1,所以,原方程的近似解可取为1.4375. 例2 借助计算器或计算机,用二分法求函f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零点(精确度0.1). 解:由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0, 于是f(0) f(1)<0, 所以,函数f(x)在区间(0,1)内有一个零点. 下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0,1)内的零点. 取区间(0,1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55. 因为f(0.5) f