4.5.3 函数模型的应用课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.3 函数模型的应用 一、知识回顾 6. 分段函数型：y= 思考探究 解决实际应用问题的关键是什么？ 提示 解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型. （二）对于一次函数、指数函数、对数函数，函数变化的速度有什么不同？ 1.已知函数模型问题 例1.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 二、问题探究 （1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型. （2）利用（1）中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国的人口总数达到13亿？ 设置探究问题： (1)本例中所涉及的数量有哪些? 答：经过t年后的人口数y,y0；人口年平均增长率r；经过的时间t以及1950～1959年我国的人口数据. (2)描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的?确定这种函数模型需要几个因素? 答：是；两个,即y0和r. (3)根据表中数据如何确定函数模型? 答：先求1951～1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定y0的值,从而确定人口增长模型. (4)对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价? 答:作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上. (5)如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法? 答:已知函数值,求自变量的值. 解：（1）由题意知y­0=55196，设1950～1959年期间我国人口的年平均增长率为r,根据马尔萨斯人口增长模型，有67201=55196e9r,由计算工具得r≈0.021876. 因此我国在1950~1959年期间的人口增长模型为：y=55196e0.021876t，t∈[0,9]. （2）分别取t=1,2，…，8，由：y=55196e0.021876t 可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国在1951～1958年各年末人口总数，如表所示： 下表是1951～1958年我国的人口数据资料： 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 由表和图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合. （3）将y=130000代入y=55196e0.021876t，由计算器可t≈39.15. 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第40年（即1990年）我国的人口就已达到13亿. 2.拟合函数模型问题 例2.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？ 问题1：你能帮我分析比较三种方案每天回报的多少情况吗？ 探究1：(1)各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映？请写出各函数的解析式. 方案一的函数模型：y=40(x∈N*)； 方案二的函数模型：y=10x(x∈N*)； 方案三的函数模型：y=0.4×2x-1(x∈N*). （2）为了直观表现各方案每天回报的变化情况可用什么方法表示上述三个函数？ x/天 方案一 方案二   方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 1 40 0 10   0.4   2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 … … … … … … … 30