4.5.1函数的零点与方程的解课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.1 函数的零点与方程的解 4.5 函数的应用（二） 学习目标 理解零点的意义，会求简单函数的零点，掌握零点存在的判定条件； 在引入剖析函数零点定义、函数的零点与方程的根、不等式的关系过程中，培养思维能力、体会数学概念的学习方法和数形结合的数学思想，提升直观想象数学素养； 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 一、引入新课 韦达（Viete，FrancoisseigneurdeLaBigotiere） 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他的《解析方法入门》一书（1591年），集中 了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支.他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解. 第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 思考：1.一元二次方程是否有实数根的判定方法是什么？ 2.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程分别是什么？ 二、探究新知 探究1：函数的零点 下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？ （1）与； （2）与； （3）与. x y O -1 3 O 1 1 x y x y O 引申:二次函数的图象和相应一元二次方程的根有何关系? 判别式 ＞0 ＝0 ＜0 方程 的根 两不相等实数根 一个交点 没有交点 二次函数 的图象与x轴的交点 两个交点 两相等实数根 没有实数根 1.函数零点的概念： 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2.函数零点的意义： 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 即：方程f(x)=0有实数解 ⇔函数y=f(x)有零点 ⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点． 探究2.函数零点存在性定理 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)___0(“＜”或“＞”)． 在区间(2，4)上有零点______； f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1 －4 5 ＜ 3 ＜ 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y x y O a b c d 思考：观察图象填空，在怎样的条件下， 函数y=f(x)在区间[a，d]上存在零点？ ①在区间(a，b)上f(a)·f(b)____0(“＜”或“＞”)． 在区间(a，b)上______(有/无)零点； ②在区间(b，c)上f(b)·f(c) ___0(“＜”或“＞”)． 在区间(b，c)上______(有/无)零点； ③在区间(c，d)上f(c)·f(d) ___0(“＜”或”＞”)． 在区间(c，d)上____(有/无)零点； 有 < 有 < 有 < 结论 x y O a b c 函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 三、运用新知 例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例. （1）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)< 0， 则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0， 则f(x)在区间(a，b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f (x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b) <0， 则f(x)在区间(a，b)内存在零点.（ ） （1）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)< 0， 则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点.（ ） a b O x y 如图，函数y=f(x)在区间[a，b]上有3个零点，“在区间(a，b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的. （2）已知函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0， 则f(x)在区间(a，b)内没有零点.（ ） a b O x y 如图可知，函数y=f (x)在区间[a，b]上连续，且f