广东省广雅中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

2023学年第一学期高一年级期中考试试卷 数学 本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数图象与坐标轴没有公共点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题.1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立.哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（ ） A. 每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B. 存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C. 每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D. 存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 4. 已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 下面命题正确的有（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 命题“”为真命题一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 12. 定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（ ） A. B. C. D. 1 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. __________. 14. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 15 已知，则________. 16. 定义区间的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度，设，，其中表示不超过的最大整数，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 18. 已知函数，其中 （1）若的最小值为，求的值； （2）若存在，使成立，求的取值范围． 19. 设． （1）若不等式有实数解，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式． 20. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） （1）求出值，并将表示为的函数； （2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 21. （1）已知函数，，若，都有，求证：为奇函数. （2）设函数定义在上，证明：是偶函数，是奇函数. （3）已知是定义在上的函数，设，，试判断与的奇偶性；根据，与的关系，你能猜想出什么样的结论？ 22. 某校为促进学生积极参加体育锻炼，计划举办一次运动会，并为运动会设计了一款纪念品.如图所示为纪念品的平面图，其中四边形为等腰梯形，A，B在上，且的半径为，圆心到的距离为，，.定义高径比，已知当时，纪念品的总体设计较为协调，符合大众审美. （1）设梯形的高为，求关于的函数关系式； （2）当梯形的面积取得最大值时，判断该纪念品是否符合大众审美. 2023学年第一学期高一年级