考点专练41：空间直线、平面的垂直（2）——2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学专项训练

考点专练41：空间直线、平面的垂直（2） 一、选择题 1.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　) A.α⊥β且m⊂α　　　　B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β 2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为(　　) A.　　　　B.　　　　 C.　　　　D. 3.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC 4.设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是(　　) A.α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B.α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ C.α⊥β，β⊥γ，m⊥α D.n⊥α，n⊥β，m⊥α 5.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　) A.有且只有一个　 B.至多一个 C.有一个或无数个　 D.不存在 6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，B1B，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　) A.45° B.60° C.90° D.120° 7.一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　) A.AB∥CD B.AB与CD相交 C.AB⊥CD D.AB与CD所成的角为60° 8.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　) A.60° B.30° C.45° D.15° 9.在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，若平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　) A.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直 二、填空题 10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面AC，则EF与AA1的位置关系是________ 11.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________ 12.已知三棱锥D­ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D­BC­A的大小为__________ 13.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论正确的为________ (填序号) 三、解答题 14.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． 15.已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E． (1)判断DC与BE的关系；(2)求证：DC⊥BC． 16.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C　解析：由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确． 2.A　解析：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a， 设O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角． ∵AO＝×a＝a，∴cos∠SAO＝＝． 3.C　解析：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1⊂平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1．又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1． 4.D　解析：A不对，m可能在平面β内，也可能与β平行；B，C不对，满足条件的m和β可能相交，也可能平行；D对，由n⊥α，n⊥β可知α∥β，结合m⊥α知m⊥β．故选D． 5.B 解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在． 6.B　解析：连接A1B，BC1，A1C1(图略)，则A1B＝BC1＝A1C1，且