3.2.2奇偶性的应用课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时　奇偶性的应用 人教a版高中数学 主讲人 赵闯 一起牢记本节课的学习目标吧！ 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．【重点】利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题． 函数的奇偶性与单调性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为________，即在对称区间上单调性________． (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为________，即在对称区间上单调性________． 增函数 相同 减函数 相反 一起开启知识的大门吧！！ 函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f（0）=0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数． (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f（x）=f（｜x｜）. 来个小练习 1.判断 (1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(　　) (2)一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数．(　　) (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性．(　　) √ × × 2．定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则(　　) A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3) C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(4)＜f(－π)＜f(3) 答案：C 4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x－x2，则当x＞0时，f(x)＝________． x＋x2 2．已知函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2 答案：A 题型方法总结 一 、利用函数奇偶性求解析式 例1 若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式； [答案] 是定义在上的奇函数，， 当时，，则， 故 10 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x＜0时，f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，f(x)＝________． (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式． 巩固一下！ 解析： (1)当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)． (2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 例2 已知偶函数在区间上的解析式为，则下列大小关系正确的是( ) A. B. C. D. D [解析] 由题意得，在上单调递增，在上单调递减， 所以，选项A错误； 因为为偶函数，所以， 所以，选项B错误； ，选项D正确，选项C错误. 二、奇偶性与单调性的简单应用 13 例3　定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围． 解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(|x|)． ∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)． ∴原不等式等价于解得－1≤m<. ∴实数m的取值范围是. 已知偶函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x2)－f(x1)]＜0成立，令a＝f(－5)，b＝f，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是________(用“＞”连接)． a>c>b 解析：∵当x∈[0，＋∞)时都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]<0成立，∴f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递增．又f(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图．   由图可知，当自变量距离y轴距离越近，则函数值越小，即<|－2|<|－5|，则f<f(－2)<f(－5)，即a>c>b. 巩固一下！！ 方法归纳 利用奇偶性求函数解析式的方法 已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可．具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在哪个区