13.5.3 角平分线 课件 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

角平分线 1.掌握尺规的基本作图：作已知角的角平分线． 2.掌握角平分线性质定理及逆定理。（重点） 3.灵活运用角平分线性质定理及逆定理进行证明和计算。（难点） 学习目标 自主学习 自学课本87、96-98页，圈画重点内容并回答以下问题： 1.如何作已知角的角平分线？ 2.角平分线性质定理及其逆定理的内容及证明方法是什么？ 3.画出任意△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 作已知角的角平分线 如图，已知∠AOB，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线. A O B C D E 射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线. 步骤： 1.在射线OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE 2.分别以D，E为圆心，适当长度（大于线段DE长的 一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C 3.作射线OC. 角平分线上的点到角两边的距离相等． 角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理的逆定理（角平分线的判定定理）： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知: 如图, OC是 ∠AOB的平分线,点P是 OC上的任意一点，PD丄OA, PE丄OB, 垂足分别为点 D和点E. 求证：PD=PE. 分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要 证明 这两个三角形全等，便可证得PD=PE. E P B C A D O 你能写出完整的证明过程？ 下面我们来证明角平分线的性质定理： 证明: ∵ OC平分∠AOB P是OC上一点， ∴∠DOP=∠BOP ∵PD⊥OA,PE⊥OB ∴∠ODP=∠OEP=90. 在△OPD和△OPE 中 ∠DOP=∠EOP ∠ODP=∠OEP OP=OP ∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴PD＝PE E P B C A D O 角平分线上的点到角两边的距离相等． 书写格式： 如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD=PE 易错警示：垂线段的长度 ≠ 随意两点间的距离 D P A C B E O 关键词：(1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； 作用：角平分线的性质可用来证明两条线段相等． 是三角形全等思路的简化升级版 角平分线的性质定理： 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 分析：只需证明∠AOQ和∠BOQ所在的Rt△QDO和Rt△QEO全等. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别是D、E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的角平分线上. E Q B C A D O 证明：∵ PD⊥OA, PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO = 90° 在 Rt △PDO和 Rt △PEO中 OP = OP PD = PE ∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO (HL) ∴ ∠DOP= ∠EOP ∴点Q在∠AOB的平分线上. E Q B C A D O 条件：点到角两边距离相等； 结论：点在角平分线上． (1)书写格式：如图， ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE, ∴点Q在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． (2)作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线． 角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． E Q B C A D O 画出任意△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 三角形三个内角平分线交于一点 你能给证明吗？ 点拨：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可.思路可表示如下： AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PD=PF PD=PE PF=PE 点P在∠BCA的平分线上 B C P D F E 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC, 垂足分别为D、E、F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, ∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. ∴ PD=PF（等量代换）. ∴ 点P在∠A的平分线上, A B C P E D F M N 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在∠A的平分线上. 三条角平分线的交点叫做三角形的内心（内切圆的圆心）。 思路导图 角平分线 1.作一个已知角的角平分线：3个步骤 2.角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等. 3.角平分线的判定定理: 角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。