3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时）导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质（第二课时） 班级 姓名 【学习目标】 1. 熟练掌握双曲线的几何性质 2能解决简单的直线与双曲线问题 基础知识 双曲线的几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性 质 图形 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或　x≥a y∈R 　y≤－a或　y≥a x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：____2a____；虚轴：线段B1B2，长：____2b____；半实轴长：___a_____，半虚轴长：____b____ 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 将y＝kx＋m与＝1联立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0. Δ的取值 位置关系 交点个数 k＝±且m≠0时 相交 只有___1_____交点 k≠±且Δ＞0 有____2____交点 k≠±且Δ＝0 相切 只有___1_____交点 k≠±且Δ＜0 相离 ____0____公共点 双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． (4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为， (5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. (6)双曲线的离心率公式可表示为e＝. 典型例题 例1　已知定点，，动点到两定点、距离之差的绝对值为． （1）求动点对应曲线的轨迹方程； （2）过点作直线与曲线交于、两点，若点恰为的中点，求直线的方程． 例2 已知椭圆的焦点在x轴上，满足短轴长等于焦距，且长轴两端点与上顶点构成的三角形面积为. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）若双曲线与（1）中椭圆有相同的焦点，且过点，求双曲线的标准方程. 例3已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程 （2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值． 例4 过双曲线Γ：的左焦点F1的动直线l与Γ的左支交于A，B两点，设Γ的右焦点为F2. (1)若是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程； (2)若存在直线l，使得，求Γ的离心率的取值范围. 【课堂检验】 1．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 2．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（    ） A． B． C． D． 参考答案 例1．（1）；（2）． 【详解】解：（1）由题意知：， 故动点的轨迹为焦点在轴上的双曲线，且，， ∴，故曲线的方程为：； （2）设，，满足， 两式相减得，即， 因为点为的中点，故， ∴，即直线的斜率为，又过点， 故直线的方程为：，即． 例2 （1）椭圆的标准方程为，离心率为；（2）. 【详解】（1）由题意得：在椭圆中，，且. 根据，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 椭圆的离心率为. （2）由题意，椭圆的焦点为和. 因为双曲线过点，根据双曲线的定义， 得， 所以，又因为， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 例3 （1）；（2）24. 【详解】因为，所以，． 所以双曲线的方程为，即． 因为点在双曲线上，所以，所以． 所以所求双曲线的方程为． 设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由，得， 所以． 同理可得，， 所以． 设， 则， 所以，即当且仅当时取等号． 所以当时，取得最小值24． 例4 (1)； (2). 【详解】（1）依题意，结合双曲线的对称性得，， 所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2， 此时Γ的标准方程为. （2）依题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为x＝my－c， 联立，消去，得， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，， 由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y