简单的三角恒等变换-2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学考点专练25

考点专练25：简单的三角恒等变换 一、选择题 1.cos(－15°)的值为(　　) A. B. C. D.－ 2.已知α为第一象限角，tan α＝，则tan ＝(　　) A.－3 B. C.或－3 D.－或3 3.代数式sin 75°cos 75°的值为(　　) A.　　 B.－　　 C.　　 D.－ 4.(sin 15°＋cos 15°)2的值为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 5.若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A.　　 B.　　 C.－　　 D.－ 6.若cos＝，则sin 2α＝(　　) A. B. C.－ D.－ 7.函数f (x)＝sinsin是(　　) A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数 8.在△ABC中，若cos Acos B＞sin Asin B，则此三角形一定是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.形状不确定 9.函数y＝2cos2－1是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 二、填空题 10.函数f(x)＝sin xcos(x＋1)＋sin(x＋1)cos x的最小正周期是 11.函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为 12.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tanβ＝ 13.若α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝______ 14.已知sin α＋cos α＝，其中α∈，则tan 2α＝________ 三、解答题 15.已知α∈，sin α＝． (1)求sin的值；(2)求cos的值． 16.已知函数y＝(sin x＋cos x)2． (1)求它的最小正周期和最大值； (2)求它的递增区间． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C　解析：cos (－15°)＝cos 15°＝＝＝＝＝ 2.B　 解析：由α为第一象限角，tan α＝，则为第一或第三象限角，则tan ＞0.根据tan α＝＝，解得tan＝或tan ＝－3(舍去).故选B. 3.A　 解析：sin 75°cos 75°＝×2sin 75°cos 75°＝×sin 150°＝×＝．故选A． 4.C　解析：(sin 15°＋cos 15°)2＝sin215°＋cos2 15°＋2sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝．故选C． 5.B　 解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝． 6.D　解析：因为cos ＝，所以cos α＋sin α＝， 两边平方得(1＋2sin αcos α)＝，所以sin 2α＝－． 7.D 解析：f (x)＝sinsin＝sinsin＝sincos＝sin＝cos 2x ∵ω＝2，∴T＝＝π． 又函数y＝cos 2x为偶函数，∴f (x)为偶函数，则f (x)是周期为π的偶函数．故选D． 8.A　解析：由题意，∵cos Acos B＞sin Asin B，∴cos(A＋B)＞0，∴cos C＜0，∴C为钝角．故选A． 9.A　解析：由y＝2cos2－1＝cos＝sin 2x， ∴T＝π，且y＝sin 2x为奇函数，即函数y＝2cos2－1是最小正周期为π的奇函数．故选A． 二、填空题 10.答案：π 11.答案：1 12.答案： 13.答案：－ 解：因为α，β∈，所以π<α＋β<2π，由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝－， 又sin α＝，所以cos α＝－，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－. 14.答案：　 解析：因为sin α＋cos α＝，且(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，所以(sin α－cos α)2＝， 又α∈，所以sin α－cos α＝，得sin α＝，cos α＝－， 所以tan α＝－，tan 2α＝＝． 三、解答题 15.解：(1)因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－ 故sin ＝sin cos α＋cos sin α＝×＋×＝－ (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝， 所以cos ＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－ 16.解：(1)∵y＝(sin x＋cos x)2＝sin2x＋cos2x＋2sin xc