向量数量积的范围问题-2023届高三数学二轮复习

专题1 向量数量积的范围问题 【典例1-1】（四川省巴中市2022-2023学年高一下学期期末） 1．折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【典例1-2】（2023春·江苏盐城·高一统考期中） 2．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若，则（    ）    A． B． C．最大值为8 D．的最大值为 【题后反思】 关于向量问题，除利用基底法外，常常利用坐标法处理，即建立适当的直角坐标系，将向量用坐标的形式表示出来，用函数与方程的思想求解，，坐标法有时更能解决较为复杂的问题. 【举一反三】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模） 3．在矩形中，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2022·贵州安顺·统考模拟预测） 4．已知点是以为直径的圆上任意一点，且，则的取值范围是 ． 【必备知识】 【典例2-1】（2023春·江苏南通·高二海门中学校考阶段练习） 5．点P是正八边形ABCDEFGH内一点(包括边界)，且＝1，则的最大值为（    ）    A．1 B． C． D． 【典例2-2】（2023春·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末） 6．在边长为4的正方形中，动圆Q的半径为1、圆心在线段（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【题后反思】 根据数量积的几何意义，结合图形特征，分析探求解题途径.定义法是解决相关问题的最基本的方法，对向量来说，知道了“模”和“夹角”，内积就知道了. 【举一反三】 （2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测） 7．在边长为2的菱形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末） 8．北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图①）．已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ．    【典例3-1】（2023·全国·高三专题练习） 9．在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ． 【典例3-2】（河北省石家庄市2022-2023学年高一下学期期末） 10．已知中，，，点P是外接圆圆周上的一个动点，则取值范围是 ． 【题后反思】 当图形中包含三角形时，可利用正弦定理、余弦定理，建立向量的夹角、向量的模之间的关系，确定数量积的范围（最值）. 【举一反三】 （2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测） 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1．从，，，四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为 ．    （2023春·吉林·高一吉林一中校考阶段练习） 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角，若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，试求的最大值为 . 【典例4-1】（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末） 13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，M，N分别是AB，AD边上的动点，下列命题中正确的有（    ）    A．若的周长为2，则∠MCN的正切值等于1 B．若的面积为，则∠MCN正切值的最小值为 C．若的周长为2，则的最小值为 D．若的面积为，则的最大值为 【典例4-2】（2023春·浙江温州·高一统考期末） 14．平面向量，，满足，，与夹角为，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【题后反思】 通过建立平面直角坐标系，将数量积用坐标表示出来，应用二次函数的性质或均值不等式，是解答数量积范围（最值）问题的常用方法. 【举一反三】 （2023春·江苏南京·高一南京市江宁高级中学校联考期末） 15．在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为（    ） A．－10 B．－13 C． D． （2023春·四川广元·高一广元中学校考期中） 16．在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（    ） A． B．x＋y的取值范围为 C．若，则的取值范围为 D．的取值范围为 （2023春·江苏宿迁·高一统考期末） 17．向量与向量夹角为钝角，则实数的取值