函数不等式汇总 讲义-2024届高三数学二轮专题

不等式汇总 函数不等式是学习导数的重要载体，在一些范围类问题或是证明性问题中都能看到不等式的身影，例如利用切线放缩解决一些证明问题就会用到不等式.同时一些问题中也会蕴含着不等式的影子，常见的比如第一问让你证明不等式，同时第二问还要用到第一问的不等式进行解决问题.因此掌握一些不等式对于我们在考试中顺利解决导数压轴题具有很大的意义，函数不等式之于导数就像二级结论之于圆锥曲线，能让我们在考试中透过题目洞察试题的真正意图及考察内容.下面我将三年以来积累的不等式总结于下，供同学们学习. 引理：泰勒公式 若函数f（x）在包含的某个闭区间[a，b]上有n阶导数，且在开区间（a，b）上具有n+1阶导数，则对于闭区间[a，b]上的任意一点x=，有： f（x）=f()+(x-)++…++(x). 其中，表示函数在处的n阶导数.上式称为函数f（x）在x=处的泰勒公式，(x)称为泰勒公式的余项.特别的，当=0时，若f（x）在x=0处n阶连续可导，则称 f（x）=f(0)+(x)++…++(x). 为函数的麦克劳林公式. 指数函数类 由麦克劳林公式，我们有 可以得到重要不等式： 1、 当x≥0时，≥+x+1. 证明：构造函数f(x)=(+x+1) 求导得=x1 =1≥0 则单调递增，=0 则f(x)单调递增，f(x)f(0)=0 原不等式得证. 注1：由证明可知：≥x+1，从而得到元不等式：≥+1; 若=x1，则有≥ex；(此时y=ex是y=的图像过原点的切线方程) 若=x，则有≤（x<1)； 若=x，则有≥（x）； 若=x+，则有x≥x++1. 注2：记f(x)=的图像在点（，f(x))处的切线方程为：y=(x)，由f(x)=图像的凹凸性可知≥(x)+，这就是切线不等式的得到. 例1.（2020年全国1卷理科）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 解：(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2)由得，+a-x+1，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，a， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. 2、 当x≥0时，≥+1(当x=0时取等）. 证明：令f(x)=+1) =x = 当0<x<时，<0，单调递减；当<x时，>0，单调递增 则f(x)单调递增，=f(0)=0 原不等式得证. 3、 当x≥0时，≥+(e)x+1(当x=0或x=1时取等）. 证明：当x=0时，≥+(e)x+1成立； 当x>0时，构造函数f(x)= x e+2 = 当0<x<1，则<0，单调递减；当1<x，则>0，单调递增 ==0 原不等式得证. 4、 当xR，++2. 证明：令f(x)=++2 显然f(x)=f(-x) 故只研究x时的情况，易得： =2x，=+222=0 所以单调递增，=0 所以f(x)单调递增，f(x)f(0)=0 原不等式得证. 注1：由不等式证明可衍生出以下不等式： +2； +2x(x； 2x(x； 注2：f(x)=与f(x)=)互为反函数； 当x时，有x； 当x时，有x. 5、 当0<2时，. 证明：令f(x)=(2x)x2 =(1x)1，=x0 则单调递减，=0 则f(x)单调递减，f(x)f(0)=0 原不等式得证. 注1：当0<2时，要证明，即证明x 令=t，即证明：，通过一次求导即可证明，此不等式在导数中具有重要地位. 注2：当<0时，有：. 对数函数类 由于函数f(x)=在x=0处无定义，因此我们转为研究f(x)=的性质，然后通过函数变换得到f(x)=的性质. 由麦克劳林公式得： =x + + ……+ + (x) . 可以得到以下重要不等式： 1、当x时，x𝑥 . 证明：当x时，令f(x)=x， 求导有：=0 所以f(x)单调递增，f(x)f(0)=0，左边得证； 当x时，令f(x)=x 求导= 0， 所以f(x)单调递减，f(x)f(0)=0，右边得证. 原不等式得证. 注1：对𝑥两边取以e为底的指数，有：，可得：+1； 注2：y=x为曲线y=在点(0，0)处的切线方程； 注3：在上面的不等式中，替换x，得到: ，从而得到元不等式：； 若=x，有：； 若=，有：1； 注4：记=在(，f())处切线方程为yf()= (x)，由=图像的凹凸性 可知+ (x)，这是切线不等式. 例1、已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； （2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性． 解：（1）